二次无理数的一个既无聊又有趣的性质

Ysu2008

无理数的十进制小数是无限不循环小数，小数点后每一个位置出现0~9的概率都相等，都等于 \(\frac{1}{10}\) .

记二次无理数为 \(\sqrt{x}=a.a_0a_1a_2...,x\in{Z^+}\)
设小数点后第一个数 \(a_0\) 与 \(a_0\)再次出现时的间隔数为 \(X\) ，则 \(X\)为指数随机变量，且 \(X\)~\(Exp(\frac{1}{10})\)：



设小数点后头两个数 \(a_0a_1\) 与 \(a_0a_1\)再次出现时的间隔数为 \(X\) ，则 \(X\)也是指数随机变量，且 \(X\)~\(Exp(\frac{1}{100})\)：


猜测：小数点后连续 \(n\)个数组成的数与该数再次出现时的间隔数 \(X\)~\(Exp(\frac{1}{10^n})\)

uk702

请教楼主，不知楼主有没有相关信息（谢了）：
1）sqrt(2) 的十进制表示中各个数字出现概率相同（各 1/10），这是否已经得到了证明？
2）不知能否证明（或否定），当 n趋于无穷时，2^n 的十进制表示中各个数字出现相同？

uk702

对 2^n  进行验证（n<1000000），似乎 0~9 各个数字的出现概率确实趋于 1/10，当 n > 200000 时，各个数字出现的概率大体在 0.1±0.005  之间，当 n > 500000 时，各个数字出现的概率大体在 0.1±0.003  之间。

当 n = 1161 时，2^n 共 350 位，其中数字 4 出现的次数只有 16，算是偏差最离谱的一个。

Ysu2008

uk702 发表于 2020-11-9 15:42
对 2^n  进行验证（n 200000 时，各个数字出现的概率大体在 0.1±0.005  之间，当 n > 500000 时，各个数字 ...

sqrt(n) 小数部分各数字应该是均匀分布的，等概率出现。我也不知道有没有人证明过。

Ysu2008

uk702 发表于 2020-11-9 15:42
对 2^n  进行验证（n 200000 时，各个数字出现的概率大体在 0.1±0.005  之间，当 n > 500000 时，各个数字 ...

2^n 这个没研究过。