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楼主: wintex

正整数递增数列 {a(n)} 满足 a(n+2)=a(n+1)+a(n)(n≥1),已知 a(7)=120,求 a(8)

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发表于 2020-10-19 14:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草@ 于 2020-10-19 14:40 编辑

按照 elim 先生的方法用 mathematica 求解:


按照陆教授的方法用 mathematica 求解:

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发表于 2020-10-19 15:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-10-19 16:07 编辑
天山草@ 发表于 2020-10-19 14:15
按照 elim 先生的方法用 mathematica 求解:

Solve\([5 a_{1} + 8 a_{2} = 120, 8 a_{1} + 13 a_{2} = a_{8},  0 < a_{1} < a_{2}]\)
\(a_{8} -> 194, a_{2} -> 10, a_{1} -> 8\)
Solve\([21 a_{1} + 34 a_{2} = 12358, 34 a_{1} + 55 a_{2} = a_{11},  0 < a_{1} < a_{2}]\)
\(a_{11} -> 19991,a_{2} -> 361,a_{1} -> 4\)
\(a_{11} -> 19992,a_{2} -> 340,a_{1} -> 38\)
\(a_{11} -> 19993,a_{2} -> 319,a_{1} -> 72\)
\(a_{11} -> 19994,a_{2} -> 298,a_{1} -> 106\)
\(a_{11} -> 19995,a_{2} -> 277,a_{1} -> 140\)
\(a_{11} -> 19996,a_{2} -> 256,a_{1} -> 174\)
\(a_{11} -> 19997,a_{2} -> 235,a_{1} -> 208\)
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发表于 2020-10-20 11:39 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-10-19 12:22
这样也行!
\(5a_1+8a_2=120\ \ \ (1)\)
\(8a_1+13a_2=?\ \ \ \ (2)\)

10楼的诠释。

Solve[120*13/8 > x > 120*21/13, {x}, Integers]
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发表于 2020-10-20 14:32 | 显示全部楼层

an=xa+yh)
x就是((1+根号5)^5所有无理项系数即奇次项系数的和)/2^n。
y就是(所有有理项之和减去无理项系数之和)/2^n。
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发表于 2021-1-13 18:28 | 显示全部楼层
simpley 发表于 2020-10-20 14:32
an=xa+yh)
x就是((1+根号5)^5所有无理项系数即奇次项系数的和)/2^n。
y就是(所有有理项之和减去无理项 ...


看不懂!
an=xa+yh
x就是((1+根号5)^5所有无理项系数即奇次项系数的和)/2^n。
y就是(所有有理项之和减去无理项系数之和)/2^n。
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发表于 2021-1-13 19:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2021-1-13 22:01 编辑
王守恩 发表于 2021-1-13 18:28
看不懂!
an=xa+yh
x就是((1+根号5)^5所有无理项系数即奇次项系数的和)/2^n。


\(a_0\)=a, \(a_1\)=b, \(a_{n+1} = a_{n}+ a_{n-1} \),则 \(a_n\) = \(c_1(\frac{1+\sqrt5}{2})^n\) + \(c_2(\frac{1-\sqrt5}{2})^n\), 其中 c1/c2 由 a, b 决定。

由于 \((\frac{1-\sqrt5}{2})^n \) ≈ 0, 因此,a(n+1)/a(n) 将极接近于 \(\frac{1+\sqrt5}{2} \) ,由此估算得 \(a_8\)=120*(1+sqrt(5))/2 = 194 。

另外,实验了一下,如果题目改成 a5=120,那么,a6 的取值就比较多了。
193 => 120 => 73 => 47 => 26 => 21 => 5
194 => 120 => 74 => 46 => 28 => 18 => 10 => 8 => 2
195 => 120 => 75 => 45 => 30 => 15
196 => 120 => 76 => 44 => 32 => 12
197 => 120 => 77 => 43 => 34 => 9
198 => 120 => 78 => 42 => 36 => 6
199 => 120 => 79 => 41 => 38 => 3

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参与人数 1威望 +15 收起 理由
王守恩 + 15 茅塞顿开!

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