证明：∑(k=1,n)(-1)^(k+1)/[k!(n-k)!]=1/n!

王守恩

王守恩 发表于 2020-10-23 09:03
\(已知a,b,c是三个互不相同的实数，如何证明？\)

\(\displaystyle(\frac{a-b}{b-c})^2+(\frac{b-c}{c-a} ...

\(已知a,b,c是三个互不相同的实数，如何证明？\)

\(\displaystyle(\frac{a-b}{b-c})^2+(\frac{b-c}{c-a})^2+(\frac{c-a}{a-b})^2\geqslant 5\)

\(\displaystyle(\frac{a-b}{b-c})^2+(\frac{b-c}{c-a})^2+(\frac{c-a}{a-b})^2-5\)

\(\displaystyle=\frac{(a^3-2a^2b-a^2c-ab^2+6abc-2ac^2+b^3-2b^2c-bc^2+c^3)^2}{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}\geqslant 0\)

王守恩

王守恩 发表于 2020-10-23 09:03
\(已知a,b,c是三个互不相同的实数，如何证明？\)

\(\displaystyle(\frac{a-b}{b-c})^2+(\frac{b-c}{c-a} ...

\(\displaystyle若\ 0<\theta<2\pi，求\ \ \sin^2(2\theta)+\sin^4(\theta)\ \ 最大值。\)

王守恩

王守恩 发表于 2020-11-8 10:13
\(\displaystyle若\ 0

\(a，b 是已知条件(正整数)，\arctan\left(\frac{a}{n}\right)+\arctan\left(\frac{b}{n}\right)=45°\)

\(求证：n=\frac{a+b+\sqrt{a^2+6ab+b^2}}{2}\)

王守恩

王守恩 发表于 2020-11-24 09:44
\(a，b 是已知条件，\arctan\left(\frac{a}{n}\right)+\arctan\left(\frac{b}{n}\right)=45°\)

\(求 ...

  要不，换种说法。
  a，b 是已知条件(正整数)，\(\arctan\left(\frac{a}{x}\right)+\arctan\left(\frac{b}{x}\right)=60°\)
   \( x=\ ?\) (用 a,b 来表示 x)

王守恩

王守恩 发表于 2020-11-25 12:19
要不，换种说法。
  a，b 是已知条件，\(\arctan\left(\frac{a}{x}\right)+\arctan\left(\frac{b}{x}\ ...

要不，换种说法。
  a，b 是已知条件(正整数)，\(\arctan\left(\frac{a}{x}\right)+\arctan\left(\frac{b}{x}\right)=36°\)
  x=？ (用 a,b 来表示 x，根式解)

王守恩

王守恩 发表于 2020-11-24 09:44
\(a，b 是已知条件(正整数)，\arctan\left(\frac{a}{n}\right)+\arctan\left(\frac{b}{n}\right)=45°\ ...

因为缺少“方法”，往下走不了。
1， a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{2}\)
   \(n=\sqrt{a^2+b^2}\)   
2， a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{3}\)
   \(n=2\sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}\)  
3， a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{4}\)
   \(n=\sqrt{2(a^2+\sqrt{2}ab+b^2)}\)  
4， a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{5}\)
   \(n=\sqrt{2(a^2+ab+b^2)+\frac{2(a^2+3ab+b^2)}{\sqrt{5}}}\)
5， a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{6}\)
   \(n=\sqrt{4(a^2+\sqrt{3}ab+b^2)}\)
6， a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{7}\)
   \(n=？\)  
7， a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{8}\)
   \(n=？\)
8， a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{9}\)
   \(n=？\)
9， a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)=\frac{\pi}{10}\)
   \(n=？\)

王守恩

王守恩 发表于 2020-11-27 08:55
因为缺少“方法”，往下走不了。
1， a,b 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right ...

  虽然缺少“方法”，还是大胆往前走。
     a,b,c 是已知条件(正整数)。
   \(\arcsin\left(\frac{a}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{b}{n}\right)+\arcsin\left(\frac{c}{n}\right)=\pi\)
   \(n=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}\)

王守恩

elim 发表于 2020-10-14 08:36

\(\displaystyle试证：\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^2(n)}{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n}=\frac{\pi-1}{2}\)

王守恩

1楼改一改。如何证明？

\[\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\ \frac{(-1)^{k+1}}{k\ !\ (n-k)\ !}=\frac{1}{n\ !}\]

luyuanhong

王守恩 发表于 2023-12-24 08:29
1楼改一改。如何证明？

∑(k=1,∞)(-1)^(k+1)/[k!(n-k)!]=1/n!