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证明:∑(k=1,n)(-1)^(k+1)/[k!(n-k)!]=1/n!

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发表于 2020-10-13 09:43 | 显示全部楼层 |阅读模式
如何证明?

\[\displaystyle\sum_{k=1}^n\ \frac{(-1)^{k+1}}{k\ !\ (n-k)\ !}=\frac{1}{n\ !}\]
发表于 2020-10-13 13:02 | 显示全部楼层
\(\because\quad\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}=(1-1)^n = 0,\)
\(\therefore\;\;\displaystyle\sum_{k=1}^n\ \frac{(-1)^{k+1}}{k\ !\ (n-k)\ !}=-\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^n(-1)^k\binom{n}{k}=\frac{1}{n\ !}\binom{n}{0}=\frac{1}{n\ !}\)

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参与人数 1威望 +15 收起 理由
王守恩 + 15 嗨!还能怎么简单的?!!谢谢!!!

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 楼主| 发表于 2020-10-13 13:54 | 显示全部楼层
如何证明?

\(当\ x=y\ 时,0>x>30°,0>y>30°\),

\(\frac{\sin(x)\sin(60°-2y)\sin(30°)}{\sin(y)\sin(60°+2y-x)\sin(30°-y)}=1\)
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发表于 2020-10-13 21:27 | 显示全部楼层

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参与人数 1威望 +15 收起 理由
王守恩 + 15 很给力!

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 楼主| 发表于 2020-10-14 08:05 | 显示全部楼层

谢谢elim!同理可得?

\(当\ x+y=30°\ 时,0>x>30°,0>y>30°\),

\(\frac{\sin(x)\sin(2y)\sin(30°)}{\sin(30°-y)\sin(60°+x+2y)\sin(y)}=1\)
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 楼主| 发表于 2020-10-14 08:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-10-14 10:16 编辑


\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\ {1\over(4k-3)(4k-1)}={\pi\over 8}\)
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发表于 2020-10-14 08:36 | 显示全部楼层

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 楼主| 发表于 2020-10-14 10:23 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-10-14 16:27 编辑


谢谢elim!不会出现规律,没有捷径可走!

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\ {1\over(2k-1)^2}={\pi^2\over 8}\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\ {2\over(2k-1)^2}={\pi^2\over 4}\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\ {8\over(4k-2)^2-0}={\pi^2\over 4}\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\ {8\over(4k-2)^2-1}={\pi}\)
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发表于 2020-10-14 10:59 | 显示全部楼层
都是什么?
0>X>30^0
0>Y>30^0
乱七八糟的!
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 楼主| 发表于 2020-10-23 09:03 | 显示全部楼层
\(已知a,b,c是三个互不相同的实数,如何证明?\)

\(\displaystyle(\frac{a-b}{b-c})^2+(\frac{b-c}{c-a})^2+(\frac{c-a}{a-b})^2\geqslant 5\)
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