极限 \(\lim{\large\frac{n(na_n-2)}{\ln n}}\) 与全能近似破产

elim

\(\lim{\large\frac{n(na_n-2)}{\ln n}}\,(0< a_{n+1}=\ln(1+a_n))\) 与全能近似破产

任何能通过极限入门自测题的朋友都可以推出下列等式:
(1) \(a_1 > 0,\)
(2) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}na_n=2,\)
(3) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{n(na_n-2)}{\ln n}=\frac{2}{3}}\)

更精细的分析给出
\(\small\dfrac{n(na_n-2)}{\ln n}=\dfrac{2}{3}+O(\dfrac{1}{\ln n})\).
于是 \(\big|{\small\dfrac{n(na_n-2)}{\ln n}-\dfrac{2}{3}}\big|\) 与 \(\small\dfrac{1}{\ln n}\) 同阶, 趋于 0 极慢.

这意味着大量数值计算都给不出对极限的较高精度的逼近, 所以近似后于精确的分析. 全能近似本质上是对精确分析的寄生.

jzkyllcjl

你的帖子是胡扯！  你需要依次算出a(n)、na(n)（na(n)-2） 的极限， 如果这些极限 算不出 ， 你的证明 就是胡扯！

elim

我早就计算论证过这些东西，也早就知道你程度低看不懂数学分析．我需要指出你的全能近似的寄生性．绝对准极限的存在是近似方法的依据．

jzkyllcjl

你的帖子是胡扯！  你需要依次算出a(n)、na(n)（na(n)-2） 的极限。你的（na(n)-2）极限为0的结果，与你τ（n）为无穷大 的结果是矛盾的。 所以你 最后极限是错误的。

jzkyllcjl

elim 网友： 第一，你证明[ na(n)-2] 极限为0的 过程中， 用到了 ln(1+x)的 无穷级数的展开式，具体来讲 用到了[ na(n)-2]=1/3 a(n) +……)  的无穷级数性等式， 你现在 不承认，那么 请你 再写一下 你计算[ na(n)-2] 极限为0的 过程。
第二，根据你的证明过程，首先 证明了a(n) 是无穷小，然后你使用式中…… 有含a(n)的二次以上的幂级数，因此 是比a(n) 高阶的无穷小的， 所以 你的等式可以简写为：[ na(n)-2]=1/3 a(n) +O(a(n))  。所以 将此 等式两端除以a(n)  后 求极限，得 [ na(n)-2]/a(n) 的极限为1/3. 这就说明：当n 充分大时，(na（n)-2） 小于a(n)一倍,

elim

我早就计算论证过这些东西，也早就知道你程度低看不懂数学分析．我需要指出你的全能近似的寄生性．绝对准极限的存在是近似方法的依据．

一般说来, 没有精确的极限, 就谈不上不足近似或者过盈近似.  换句话说, 精确极限之不存, 近似将焉附? jzkyllcjl 吃上了狗屎, 弄伤了脑子, 捏造了贴子, 砸了自己的牌子.

elim

任何能通过极限入门自测题的朋友都可以推出下列等式:
(1) \(a_1 > 0,\)
(2) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}na_n=2,\)
(3) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{n(na_n-2)}{\ln n}=\frac{2}{3}}\)

更精细的分析给出
\(\small\dfrac{n(na_n-2)}{\ln n}=\dfrac{2}{3}+O(\dfrac{1}{\ln n})\).
于是 \(\big|{\small\dfrac{n(na_n-2)}{\ln n}-\dfrac{2}{3}}\big|\) 与 \(\small\dfrac{1}{\ln n}\) 同阶, 趋于 0 极慢.

这意味着大量数值计算都给不出对极限的较高精度的逼近, 所以近似后于精确的分析. 全能近似本质上是对精确分析的寄生.

elim

\(0< x< 1\) 时\(\,0< {\large\frac{\ln(1+x)}{x}}\small=1-(\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{3})-\cdots < 1\)
\(x\ge 1\) 时\(\,0<{\large\frac{\ln(1+x)}{x}}=\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}< \ln e=1\) 所以
\(\,{\small\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}< 1,\; a_{n+1}< a_n,\;\{a_n\}\,\)递减有下界. 极限\(\,A\ge 0\).
\( \therefore\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\ln(1+a_n)\implies A=\ln(1+A)\)
\(\because\;A>0\implies A>\ln(1+A).\;\;\therefore\; A=0. \;\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = 0\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}na_n=\lim_{n\to\infty}{\small\dfrac{n}{a_n^{-1}}}\overset{stolz}{=}\lim_{n\to\infty}{\small\frac{1}{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}}=\lim_{n\to\infty}{\small\frac{a_na_{n+1}}{a_n-a_{n+1}}}\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{a_na_{n+1}}{a_n-\ln(1+a_n)}}=\lim_{n\to\infty}{\small\frac{a_na_{n+1}}{a_n-(a_n-\frac{1}{2}a_n^{2}+O(a_n^3))}}\)
\(\displaystyle=\lim_{n\to\infty}{\small\frac{2a_{n+1}}{a_n}}=\lim_{n\to\infty}2\ln(1+a_n)^{\frac{1}{a_n}}=2\)
jzkyllcjl 不能区别极限与胡扯, 不带他玩了. 但对有点数学分析基础的朋友,
上面的计算论证是很亲切的.

elim

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{n(na_n-2)}{\ln n}}=\lim_{n\to\infty}{\small\frac{na_n(n-\frac{2}{a_n})}{\ln n}}=2\lim_{n\to\infty}{\small\frac{n-2/a_n}{\ln n}}\)
\(\displaystyle\overset{stolz}{=}2\lim_{n\to\infty}{\small\frac{1-2/a_{n+1}+2/a_n}{\frac{a_n}{na_n}\ln(1+\frac{1}{n})^n}}=4\lim_{n\to\infty}{\small\frac{(a_n+2)a_{n+1}-2a_n}{a_n^2a_{n+1}}}\)
\(\displaystyle=4\lim_{n\to\infty}{\small\frac{(a_n+2)a_{n+1}-2a_n}{a_n^3}}=4\lim_{n\to\infty}{\small\frac{\frac{1}{6}a_n^3+O(a_n^4)}{a_n^3}}=\small\frac{2}{3}\)

jzkyllcjl

根据 Stolz 公式的使用条件，你9楼 使用这个公式之前，需要证明n-2/a(n) 的极限为无穷大，但是 你没有做这个工作，所以 你的证明 不完善。