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世界上第一个证明 π 是无理数的方法——高中生也能理解
作者: 烂柯野人, 参考自 Mathologer 视频
▌前言
我们都知道圆周率 π 是无理数,但极少有人知道怎么证明它。事实上,很多专业的数学学者也不了解具体的证明方法。究其原因,一是没必要、二是大多数证明过程都太专业且不直观。例如附二中由 伊万·尼文(Ivan Niven, 美国数学家) 给出的据称是最短的证明,需要大学数学知识才能看懂。
本文给出一个高中生也能看懂的证明方法,由瑞典数学家约翰·海因里希·兰伯特在 1761 年给出。此方法利用三角函数的泰勒级数展开,巧妙的反复运用倒数技巧得到了 tan(x) 的连分数表示,然后证明了这个连分数是一个无理数。据信,这个也世界上第一个证明 π 是无理数的方法。此方法简洁易懂,即使从现在的观点来看,其思路也非常具有启发性。
▲ 约翰·海因里希·兰伯特(图行二左三)
▌准备工作
1)无理数和反证法
2)连分数
3)麦克劳林公式
▌证明过程
0)总体思路
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