世界上第一个证明 π 是无理数的方法——高中生也能理解

luyuanhong

世界上第一个证明 π 是无理数的方法——高中生也能理解



作者: 烂柯野人, 参考自 Mathologer 视频

▌前言

我们都知道圆周率  π 是无理数，但极少有人知道怎么证明它。事实上，很多专业的数学学者也不了解具体的证明方法。究其原因，一是没必要、二是大多数证明过程都太专业且不直观。例如附二中由 伊万·尼文(Ivan Niven, 美国数学家) 给出的据称是最短的证明，需要大学数学知识才能看懂。

本文给出一个高中生也能看懂的证明方法，由瑞典数学家约翰·海因里希·兰伯特在 1761 年给出。此方法利用三角函数的泰勒级数展开，巧妙的反复运用倒数技巧得到了 tan(x) 的连分数表示，然后证明了这个连分数是一个无理数。据信，这个也世界上第一个证明 π 是无理数的方法。此方法简洁易懂，即使从现在的观点来看，其思路也非常具有启发性。


▲ 约翰·海因里希·兰伯特(图行二左三)

▌准备工作

1）无理数和反证法



2）连分数



3）麦克劳林公式



▌证明过程

0）总体思路

luyuanhong

doletotodole

以前见过π的最早的无理数证明,没看懂, 这次看懂了.
这个构造法确实是数学一个比较难的思维分析能力, 学习了.
谢谢.

doletotodole

我记起来为什么之前没看懂了, 因为我看过这个文章作者Mathologer的视频, 当时没有暂停思考,只是走马观花.

codefarmet

前面基础看懂了，后面论证没看懂，留着細细看，谢谢！