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本帖最后由 蔡家雄 于 2023-2-2 21:31 编辑
判定梅森质数的卢卡斯序列
卢卡斯级数的通项公式
Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]
L1=2,
L2=7,
L3=97,
L4=18817=(2^5 -1)(2^5*19 -1)=31*607 = 两个梅森质数的乘积,
并且:2^31 -1 与 2^607 -1 同为素数。
即有:2^30*(2^31 -1) 与 2^606*(2^607 -1) 都是 完全数。
L5=708158977,
L6=1002978273411373057
=(2^7 -1)(2^7*61698958748239 -1)
=127*7897466719774591 = 两个梅森质数的乘积,
已证:127 和 7897466719774591 都是素数,
已证:2^127 -1 是素数,据此 7897466719774591 是梅森素数,
即有:2^126*(2^127 -1) 是完全数,
以及:2^7897466719774590*(2^7897466719774591 -1) 是 完全数。
定义:若 15k±2 和 15k±4 是 四生素数,则称 15k 为 双中数。
奇数双中比猜想:一奇数均可表为两个双中数之比。
3 = 83226465 /27742155,
5 = 335769525 /67153905,
7 = 105 /15,
7 = 12812415 /1830345,
7 = 198328725 /28332675,
7 = 232772925 /33253275,
7 = 639984345 /91426335,
9 = 163690065 /18187785,
11 = 167563935 /15233085,
11 = 355547115 /32322465,
11 = 465281355 /42298305,
11 = 530037585 /48185235,
11 = 939524355 /85411305,
13 = 195 /15,
13 = 29332485 /2256345,
13 = 111730905 /8594685,
13 = 236441205 /18187785,
13 = 273511875 /21039375,
13 = 504179325 /38783025,
13 = 535519335 /41193795,
13 = 629859945 /48450765,
13 = 689057265 /53004405,
13 = 1052584455 /80968035,
13 = 1112223645 /85555665,
15 = 22275 /1485,
15 = 5922225 /394815,
15 = 92043225 /6136215,
15 = 235840725 /15722715,
15 = 453530925 /30235395,
15 = 1114341075 /74289405,
17 = 55335 /3255,
17 = 570791235 /33575955,
17 = 1610046795 /94708635,
19 = 277011735 /14579565,
19 = 331435335 /17443965,
19 = 396695775 /20878725,
蔡氏8生素数猜想:设 (2n+1) 为任一奇数,
8生素数 p, p+2, p+6, p+8, (2n+1)p+8n, (2n+1)p+8n+2, (2n+1)p+8n+6, (2n+1)p+8n+8 均有解。
奇数双中比猜想与此蔡氏8生素数猜想是等价命题。是中国人首先提出来的,
已知:15a±4 、15a±2 与 15b±4 、15b±2 均为 8生素数, (a≠b , k>1)
待求:15ak±4 、15ak±2 与 15bk±4 、15bk±2 也是 8生素数,均有解。
【有理数孪中比猜想 与 奇数双中比猜想:发现于2019年5月】
素数阶乘的七生素数,有 无限多组 !!!
( p , p+5! , p+7! , p+11! , p+13! , p+17! , p+19! )
——此猜想为的是体现 (5, 7, 11, 13) 是特殊的对称4生素数。
因为对称10生连续素数(105k±2, 105k±4, 105k±8, 105k±16, 105k±32)
的中项105k 均能被(3*5*7*11*13)整除,故而构思此猜想。
蔡氏偶数分拆
设 2n >=64,且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -30 , p4=p1+30 都是素数,
则 2n -30=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+30=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。
蔡氏偶数分拆
设 2n >=280,且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -210 , p4=p1+210 都是素数,
则 2n -210=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+210=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。
蔡氏偶数分拆
2n>=2^16=(p)+(2n-p)=(p+30)+(2n-p-30)=(p+210)+(2n-p-210)=(p+2310)+(2n-p-2310) 均有解。
注:p, 2n-p, p+30, 2n-p-30, p+210, 2n-p-210, p+2310, 2n-p-2310 均为素数。
4生素数 p, p+30, p+210, p+2310 有 无穷多组,
8生素数 p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870 有 无穷多组,
同一个n值,
使 n(n+1)(n+2) -1 与 n(n+1)(n+2)+1 均为孪生素数,
及 (n+1)(n+2)(n+3) -1 与 (n+1)(n+2)(n+3)+1 均为孪生素数,
组成的 4生素数 的 前10个解,ysr 找到了,,,,
/2729/2731/3359/3361 n=13
/100544159/100544161/101194229/101194231 n=464
/10007871719/10007871721/10021810259/10021810261 n=2154
/237751858679/237751858681/237867011339/237867011341 n=6194
/1248895575839/1248895575841/1249243522229/1249243522231 n=10768
/26198072970299/26198072970301/26200719329399/26200719329401 n=29699
/48563204991419/48563204991421/48567198347639/48567198347641 n=36483
/95632080471269/95632080471271/95638354307159/95638354307161 n=45729
/149205894845279/149205894845281/149214334410959/149214334410961 n=53038
/155547270098219/155547270098221/155555947124759/155555947124761 n=53779
/292821083313719/292821083313721/292834312385009/292834312385011 n=66404
猜想:它们均为两对 (30k+29 , 30k+31) 组成的 4生素数,,,,
同邻距的三生素数
且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项,
最小解:p=7, ( p, p+30, p+100 ) 与 ( 3p+130, 3p+160, 3p+230 )
最小解:p=11,( p, p+20, p+120 ) 与 ( 3p+140, 3p+160, 3p+260 )
最小解:p=13,( p, p+10, p+30 ) 与 ( 3p+40, 3p+50, 3p+70 )
最小解:p=17,( p, p+150, p+560 ) 与 ( 3p+710, 3p+860, 3p+1270 )
最小解:p=19,( p, p+40, p+180 ) 与 ( 3p+220, 3p+260, 3p+400 )
最小解:p=23,( p, p+20, p+90 ) 与 ( 3p+110, 3p+130, 3p+200 )
最小解:p=23,( p, p+30, p+260 ) 与 ( 3p+290, 3p+320, 3p+550 )
最小解:p=29,( p, p+30, p+80 ) 与 ( 3p+110, 3p+140, 3p+190 )
最小解:p=29,( p, p+30, p+110 ) 与 ( 3p+140, 3p+170, 3p+250 )
最小解:p=29,( p, p+30, p+740 ) 与 ( 3p+770, 3p+800, 3p+1510 )
最小解:p=31,( p, p+30, p+160 ) 与 ( 3p+190, 3p+220, 3p+350 )
最小解:p=31,( p, p+30, p+490 ) 与 ( 3p+520, 3p+550, 3p+1010 )
最小解:p=37,( p, p+30, p+520 ) 与 ( 3p+550, 3p+580, 3p+1070 )
最小解:p=37,( p, p+30, p+1150 ) 与 ( 3p+1180, 3p+1210, 3p+2330 )
最小解:p=41,( p, p+20, p+150 ) 与 ( 3p+170, 3p+190, 3p+320 )
最小解:p=43,( p, p+30, p+250 ) 与 ( 3p+280, 3p+310, 3p+530 )
最小解:p=47,( p, p+80, p+270 ) 与 ( 3p+350, 3p+430, 3p+620 )
最小解:p=53,( p, p+30, p+620 ) 与 ( 3p+650, 3p+680, 3p+1270 )
最小解:p=59,( p, p+30, p+350 ) 与 ( 3p+380, 3p+410, 3p+730 )
最小解:p=61,( p, p+40, p+600 ) 与 ( 3p+640, 3p+680, 3p+1240 )
最小解:p=67,( p, p+30, p+400 ) 与 ( 3p+430, 3p+460, 3p+830 )
最小解:p=71,( p, p+30, p+920 ) 与 ( 3p+950, 3p+980, 3p+1870 )
最小解:p=73,( p, p+30, p+1420 ) 与 ( 3p+1450, 3p+1480, 3p+2870 )
最小解:p=79,( p, p+30, p+280 ) 与 ( 3p+310, 3p+340, 3p+590 )
最小解:p=83,( p, p+30, p+290 ) 与 ( 3p+320, 3p+350, 3p+610 )
最小解:p=89,( p, p+60, p+2450 ) 与 ( 3p+2510, 3p+2570, 3p+4960 )
最小解:p=97,( p, p+60, p+880 ) 与 ( 3p+940, 3p+1000, 3p+1820 )
这种 同邻距的三生素数 有 无限多组 !!!
同邻距的三生素数
设 a < b , 且 10a , 10b 不能同时 被 30 整除,
且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项,
( p, p+10a, p+10b ) 与 ( 3p+10a+10b, 3p+20a+10b, 3p+10a+20b ) 有 无限多组 !!!
稀有的三连同邻距的三生素数
且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项,
(222337, 222367, 222437) 与 (667141, 667171, 667241) 及 (2001553, 2001583, 2001653)
(5021, 5171, 5581) 与 (15773, 15923, 16333) 及 (48029, 48029, 48179, 48589)
猜想:罕见的四连同邻距的三生素数 存在 !!!!
若 m 为正整数,p1 , p2 均为素数,
则 42m=素数(14m+p1)+素数(14m+p2) 均有解。
蔡氏偶数分拆
大于6的两个相差6 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
大于6的两个相差12 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
大于6的两个相差18 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
大于6的两个相差24 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
大于8的两个相差30 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
.........................................................................................................
大于14的两个相差210 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
蔡氏偶数分拆
大于10的三个相差30 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2,
则 2m+30=素数p1+素数(30+p2) 与 2m+60=素数p1+素数(60+p2) 均有解。
蔡氏偶数分拆
大于10的三个相差60 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2,
则 2m+60=素数p1+素数(60+p2) 与 2m+120=素数p1+素数(120+p2) 均有解。
蔡氏偶数分拆
大于10的三个相差150 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2,
则 2m+150=素数p1+素数(150+p2) 与 2m+300=素数p1+素数(300+p2) 均有解。
蔡氏奇数分拆
设 2n+15 >=33,
则 2n+15=p1+2*p2 , 2n+45=p3+2*p2 , 2n+75=p4+2*p2 均有素数解。
注:p2 可以等于2,2也是素数。
蔡氏奇数分拆
设 2n+15 >=33,
则 2n+15=p1+2*p2 , 2n+75=p3+2*p2 , 2n+135=p4+2*p2 均有素数解。
非等差的三个蔡氏偶数分拆存在
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2,
设 30C =300,600,2700,3600,3900,6000,7200,9000,
则 2m+30 =素数p1+素数(30+p2) 与 2m+30C =素数p1+素数(30C+p2) 均有解。
非等差的三个蔡氏偶数分拆存在
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2,
设 60C =3300,3900,4500,6000,7200,9000,
则 2m+60 =素数p1+素数(60+p2) 与 2m+60C =素数p1+素数(60C+p2) 均有解。
设 n 为固定正整数,k 为正整数,t 为固定正奇数,
且 2n > t,及 ( n, t ) = 1 .
求证:数列2n*k+t 中的差2n素数对有无限多对,
则有无限多个k,使得 2n*k+t 与 2n*(k+1)+t 均为素数。
求证A:数列10*k+1中的差10素数对有无限多对,
则有无限多个k,使得 10*k+1 与 10*(k+1)+1 均为素数。
求证B:数列10*k+3中的差10素数对有无限多对,
则有无限多个k,使得 10*k+3 与 10*(k+1)+3 均为素数。
求证C:数列10*k+7中的差10素数对有无限多对,
则有无限多个k,使得 10*k+7 与 10*(k+1)+7 均为素数。
求证D:数列10*k+9中的差10素数对有无限多对,
则有无限多个k,使得 10*k+9 与 10*(k+1)+9 均为素数。
求证A:数列30*k+1中的差30素数对有无限多对,
则有无限多个k,使得 30*k+1 与 30*(k+1)+1 均为素数。
求证B:数列30*k+7中的差30素数对有无限多对,
则有无限多个k,使得 30*k+7 与 30*(k+1)+7 均为素数。
求证C:数列30*k+11中的差30素数对有无限多对,
则有无限多个k,使得 30*k+11 与 30*(k+1)+11 均为素数。
求证D:数列30*k+13中的差30素数对有无限多对,
则有无限多个k,使得 30*k+13 与 30*(k+1)+13 均为素数。
求证E:数列30*k+17中的差30素数对有无限多对,
则有无限多个k,使得 30*k+17 与 30*(k+1)+17 均为素数。
求证F:数列30*k+19中的差30素数对有无限多对,
则有无限多个k,使得 30*k+19 与 30*(k+1)+19 均为素数。
求证G:数列30*k+23中的差30素数对有无限多对,
则有无限多个k,使得 30*k+23 与 30*(k+1)+23 均为素数。
求证H:数列30*k+29中的差30素数对有无限多对,
则有无限多个k,使得 30*k+29 与 30*(k+1)+29 均为素数。
推论:有无限多对四生素数 p, (p+2), (p+6), (p+8) ,
使得:p+30, (p+2)+30, (p+6)+30, (p+8)+30 也是 四生素数。
使得:p+210, (p+2)+210, (p+6)+210, (p+8)+210 也是 四生素数。
使得:p+2310, (p+2)+2310, (p+6)+2310, (p+8)+2310 也是 四生素数。
使得:p+30030, (p+2)+30030, (p+6)+30030, (p+8)+30030 也是 四生素数。
【再生差2n素数对 有 无限多组】
设 n, k 均为 固定正整数,且 n 与 k 互素,
设 p1 < p2,且 p1, p2 是 差2n素数对,
使 (p1+n)*k -n =p3 与 (p1+n)*k+n =p4 也是 差2n素数对。
【再生差2n素数对 有 无限多组】
设 n, k 均为 固定正整数,且 n 与 k 互素,
设 p1 < p2,且 p1, p2 是 差2n素数对,
使 (p1+n)*k -n =p3 与 (p1+n)*k+n =p4 也是 差2n素数对。
及 (p1+n)*k^2 -n =p5 与 (p1+n)*k^2+n =p6 也是 差2n素数对。
【再生等差30的四生素数对 有 无限多组】
设 k 为 固定正整数,且 15 与 k 互素,
设 (p, p+30, p+60, p+90) 是 等差30的四生素数对,
使 (p+45)*k -45, (p+45)*k -15, (p+45)*k+15, (p+45)*k+45 也是 等差30的四生素数对。
例 k=4 时的两对 再生等差30的四生素数对 有 无限多组,
(397429, 397459, 397489, 397519) 与 (1589851, 1589881, 1589911, 1589941)
(2219123, 2219153, 2219183, 2219213) 与 (8876627, 8876657, 8876687, 8876717)
(3686561, 3686591, 3686621, 3686651) 与 (14746379, 14746409, 14746439, 14746469)
(4076951, 4076981, 4077011, 4077041) 与 (16307939, 16307969, 16307999, 16308029)
(4661717, 4661747, 4661777, 4661807) 与 (18647003, 18647033, 18647063, 18647093)
(4968149, 4968179, 4968209, 4968239) 与 (19872731, 19872761, 19872791, 19872821)
(5842841, 5842871, 5842901, 5842931) 与 (23371499, 23371529, 23371559, 23371589)
(7043173, 7043203, 7043233, 7043263) 与 (28172827, 28172857, 28172887, 28172917)
(8682209, 8682239, 8682269, 8682299) 与 (34728971, 34729001, 34729031, 34729061)
【再生等差2310的六生素数对 有 无限多组】
设 k 为 固定正整数,且 1155 与 k 互素,
设 (p, p+2310, p+4620, p+6930, p+9240, p+11550) 是 等差2310的六生素数对,
使 (p+5775)*k -5775, (p+5775)*k -3465, (p+5775)*k -1155, (p+5775)*k+1155, (p+5775)*k+3465, (p+5775)*k+5775 也是 等差2310的六生素数对。
例 k=13 时的两对 再生等差2310的六生素数对 有 无限多组,
有 (267857, 270167, 272477, 274787, 277097, 279407)
与 (3551441, 3553751, 3556061, 3558371, 3560681, 3562991)
有 (2517227, 2519537, 2521847, 2524157, 2526467, 2528777)
与 (32793251, 32795561, 32797871, 32800181, 32802491, 32804801)
奇数( 差 )定理
设 2n+1 >=1,则 2n+1=p1 -2*p2 有无穷多对解。其中 p1, p2 都是质数。
奇数( 和 )定理
设 2n+1 >=9,则 2n+1=p1+2*p2 至少有一对解。其中 p1, p2 都是质数。
奇偶( 差 )猜想A
设 2n+3 >=1,且 p1, p2, p3=2*p2 -1 都是素数,
则 2n+3=p1 -2*p2 与 2n+4=p1 -p3 有无限多对素数解。
奇偶( 差 )猜想B
设 2n+3 >=1,且 p1, p2, p3=2*p2+1 都是素数,
则 2n+3=p1 -2*p2 与 2n+2=p1 -p3 有无限多对素数解。
三素数猜想(加3型)
设 2n+1 >=61,且 p1, p2, p3=2*p2+3 都是素数,
则 2n+1=p1+2*p2 与 2n+4=p1+p3 至少有一组素数(p1, p2, p3)解。
三素数猜想(减3型)
设 2n+3 >=9,且 p1, p2, p3=2*p2 -3 都是素数,
则 2n+3=p1+2*p2 与 2n=p1+p3 至少有一组素数(p1, p2, p3)解。
蔡氏三素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。
蔡氏四素数猜想
设 2n+15 >=49,且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15 都是素数,
则 2n=p1+p3 与 2n+15=p1+2*p2 及 2n+30=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。
蔡氏四素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。
蔡氏四素数猜想
设 2n+105 >=169,且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105 都是素数,
则 2n=p1+p3 与 2n+105=p1+2*p2 及 2n+210=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。
蔡氏四素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。
蔡氏八素数猜想
设 2n >=64,
且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15, p5, p6, p7=2*p6 -15, p8=2*p6+15 都是素数,
则 2n -30=p1+p3, 2n -15=p1+2*p2, 2n=p1+p4=p5+p7, 2n+15=p5+2*p6, 2n+30=p5+p8,
至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8)解。
蔡氏八素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。
蔡氏八素数猜想
设 2n >=280,
且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105, p5, p6, p7=2*p6 -105, p8=2*p6+105 都是素数,
则 2n -210=p1+p3, 2n -105=p1+2*p2, 2n=p1+p4=p5+p7, 2n+105=p5+2*p6, 2n+210=p5+p8,
至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8)解。
蔡氏八素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。
蔡氏偶数(1+2)分拆(全部解)
设 2n >=32,且 p1, p2=p1+30, p3=p1+60, p4, p5 都是素数,
则 2n=p1+p4*p5 , 2n+30=p2+p4*p5 , 2n+60=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。
蔡氏偶数(1+2)分拆(全部解)
设 2n >=62,且 p1, p2=p1+210, p3=p1+420, p4, p5 都是素数,
则 2n=p1+p4*p5 , 2n+210=p2+p4*p5 , 2n+420=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。
蔡氏偶数(1+2)分拆(最小解)
设 2n >=96,且 p1, p2=p1+210, p3=p1+420, p4, p5 都是素数,
且 p4 <=p5, 且 p4 是与2n, 2n+210, 2n+420 都互素的最小素数,
则 2n=p1+p4*p5 , 2n+210=p2+p4*p5 , 2n+420=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。
蔡氏偶数(1+2)分拆(全部解)
设 2n >=62,且 p1, p2=p1+210, p3=p1+630, p4, p5 都是素数,
则 2n=p1+p4*p5 , 2n+210=p2+p4*p5 , 2n+630=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。
蔡氏偶数(1+2)分拆(最小解)
设 2n >=62,且 p1, p2=p1+210, p3=p1+630, p4, p5 都是素数,
且 p4 <=p5, 且 p4 是与2n, 2n+210, 2n+630 都互素的最小素数,
则 2n=p1+p4*p5 , 2n+210=p2+p4*p5 , 2n+630=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。
蔡氏偶数(1+2)分拆(全部解)
设 2n >=62,且 p1, p2=p1+420, p3=p1+840, p4, p5 都是素数,
则 2n=p1+p4*p5 , 2n+420=p2+p4*p5 , 2n+840=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。
蔡氏偶数(1+2)分拆(最小解)
设 2n >=62,且 p1, p2=p1+420, p3=p1+840, p4, p5 都是素数,
且 p4 <=p5, 且 p4 是与2n, 2n+420, 2n+840 都互素的最小素数,
则 2n=p1+p4*p5 , 2n+420=p2+p4*p5 , 2n+840=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。
蔡氏偶数(1+2)分拆(全部解)
设 2n >=62,且 p1, p2=p1+30, p3=p1+600, p4, p5 都是素数,
则 2n=p1+p4*p5 , 2n+30=p2+p4*p5 , 2n+600=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。
4m+0>=64=素数 p+素数(c^2+d^2) 均有解。
4m+1>=65=素数 p+2*素数(c^2+d^2) 均有解。
4m+2>=66=素数(a^2+b^2)+素数(c^2+d^2) 均有解。
4m+3>=67=素数(a^2+b^2)+2*素数(c^2+d^2) 均有解。
不是所有满足 d^4=x^4+y^4+z^4 有正整数解
的d, 也能满足 d^3=a^3+b^3+c^3 有正整数解。
但有部分满足 d^4=x^4+y^4+z^4 有正整数解
的d, 同时满足 d^3=a^3+b^3+c^3 有正整数解。
猜想:d^3=2*a^3+b^3 无正整数解。
猜想:d^4=2*a^4+b^4 无正整数解。
猜想:d^5=2*a^5+b^5+c^5 无正整数解。
任一正整数均可表为 一个质数 与 一个平方数 的差。
64=73-3^2=89-5^2=113-7^2=233-13^2=353-17^2=......
任一质数均可表为 另一个质数 与 一个m次方数 的差。
2=11-3^2=29-3^3=83-3^4=59051-9^5=3518743763-39^6=4782971-9^7=6563-3^8
2=2357947693-11^9=59051-3^10=8649755859377-15^11=282429536483-9^12
2=2541865828331-9^13=4782971-3^14=14348909-3^15=6568408355712890627-15^16
2=762939453127-5^17=150094635296999123-9^18
2=15398217140735709790332844752065729-63^19(最小解)
定理:三角数 n^2*(2*n^2 -1) 均可表为 前n个 连续奇数立方数之和。
定理:若 2*n^2 -1 =2^p -1 是梅森质数时,则 n^2*(2*n^2 -1) 是完全数。
根据佩尔数列:1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, ......
定理:若 n=1,5,29,169,985,...... 则 n^2*(2*n^2 -1) 既是三角数,又是平方数。
求证:若 n>=2, 则 [ n^2*(2*n^2 -1) ]^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。
举例:PowersRepresentations[8128^3, 3, 3]
s = 0;
For[n = 2, n <= 8, n++, s = s + 1;
Print[s, "-----", n^2*(2*n^2 -1), "-----",
PowersRepresentations[(n^2*(2*n^2 -1))^3, 3, 3]]]]
特殊三角数的立方表为三个立方数之和
求证:若 n>=2,则 (2^n*(2^(n+1) -1))^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。
举例:PowersRepresentations[8128^3, 3, 3]
s = 0;
For[n = 2, n <= 8, n++, s = s + 1;
Print[s, "-----", 2^n*(2^(n+1) -1) , "-----",
PowersRepresentations[(2^n*(2^(n+1) -1))^3, 3, 3]]]]
锥形数:C(n) =n^2*(n+1)/2 ,
求证:若 n>=2,则 [n^2*(n+1)/2]^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。
四维拟形数:C(n) =n*(n+1)^2*(n+2)/12 ,
求证:若 n>=2,则 [n*(n+1)^2*(n+2)/12]^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。
设 U=n, V=n*(n+1)/2, W=U^2 - 2*U*V/3+2*V^2/3,
则 W(n+2)=C(n)+C(n+2) =n*(n+1)^2*(n+2)/12+(n+2)*(n+3)^2*(n+4)/12 .
【公式化的完美立方数】
设 D^3=A^3+B^3+C^3,
且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3,B^3=b1^3+b2^3+b3^3,C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解,
求证:若 m>=2,则 (m^2*(2m^2 -1)(2m^2+1))^3=A^3+B^3+C^3 是 完美立方数。
【质数立方是三质数立方之和 的完美立方数】
设 P^3=A^3+B^3+C^3,其中 P, A, B, C 都是质数,
且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3,B^3=b1^3+b2^3+b3^3,C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解,
8000以内 P, A, B, C 均为素数的组合,由 Treenewbee 程序计算,
709 = [193, [25, 68, 190]] + [461, [5, 86, 460]] + [631, [120, 207, 622]]
2767 = [103, [12, 31, 102]] + [2179, [108, 235, 2178]] + [2213, [1238, 1373, 1852]]
【质数立方是至少两组三质数立方之和 的完美立方数】
设 P^3=A^3+B^3+C^3 = D^3+E^3+F^3,其中 P, A, B, C, D, E, F 都是质数,
且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3,B^3=b1^3+b2^3+b3^3,C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解,
及 D^3=d1^3+d2^3+d3^3,E^3=e1^3+e2^3+e3^3,F^3= f1^3+f2^3+ f3^3 均为正整数解,
求 质数 P= ? A= ? B= ? C= ? D= ? E= ? F= ? 由 Treenewbee 程序计算,
33199^3=2833^3+19081^3+30941^3=15187^3+24197^3+26647^3
49069^3=661^3+37441^3+40343^3=22307^3+37243^3+38119^3
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