证明一个三角公式 [sin(A+B)]^2=(sinA)^2+(sinB)^2+2sinAsinBcos(A+B)

luyuanhong

13506769794

哦，懂了。

13506769794

牛逼！

波斯猫猫

题：证明三角恒等式 [sin(α+β)]^2=(sinα)^2+(sinβ)^2+2sinαsinβcos(α+β) 。

思路（代数代换）：令sinα=a，cosα=b，sinβ=x，cosβ=y，其中，a＾2+b＾2=x＾2+y＾2=1。

显然，右边=a＾2+x＾2+2ax（by-ax）=a＾2+x＾2+2axby-2a＾2x＾2（基本原则是由繁到简）
               
=（ay+bx）＾2-a＾2y＾2-b＾2x＾2+a＾2+x＾2-2a＾2x＾2
               
=（ay+bx）＾2+a＾2（1-y＾2）+x＾2（1-b＾2）-2a＾2x＾2
               
=（ay+bx）＾2+a＾2x＾2+x＾2a＾2-2a＾2x＾2
              
=（ay+bx）＾2=左边。

注：既然是三角恒等式，当然α、β可以是一个三角形的两个内角。

波斯猫猫

(sinα)^2+(sinβ)^2+2sinαsinβcos(α+β)
=(sinα)^2+(sinβ)^2+[cos(α-β)-cos(α+β)]cos(α+β)
=-[cos(α+β)]^2+(sinα)^2+(sinβ)^2+cos(α-β)cos(α+β)
=-[cos(α+β)]^2+(sinα)^2+(sinβ)^2+[cos2α+cos2β) ]/2
=1-[cos(α+β)]^2+(sinα)^2+(sinβ)^2-(sinα)^2-(sinβ)^2
=[sin(α+β)]^2

波斯猫猫

可以证明：

[sin(α+β)]^2=(cosα)^2+(cosβ)^2-2cosαcosβcos(α+β)

[cos(α+β)]^2=1-(cosα)^2-(cosβ)^2+2cosαcosβcos(α+β)