求助一道看似显然但不太好证的几何题

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/06/11 10:33am 第 1 次编辑]

下面引用由金刚在 2010/06/11 06:33am 发表的内容：
谢谢陆老师，不过还想请教您：a,b,c是直角三角形的三边的必要条件（当然充分性谁都会证）是三边长分别为
m^2-n^2,2mn,m^2+n^2.这个命题如何证，如果这个命题证不出来，那么原来的命题证明还是不完整的。我很愚钝 ...

这个命题证明如下：

ccmmjj

看了觉得都复杂了些，我来做了吧。
首先，假定a,b,c三数互质且a^2+b^2=c^2则由奇偶判断，a,b,c三数必为二奇一偶。先证c必为奇，若c为偶。则a,b同奇。a^2及b^2除4余1。于是a^2+b^2除4余2。2非4之平方剩余，于是矛盾。故a,b必有一偶。不妨设为a。则a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b),由于c,b为奇，则为模4之剩余类(1),(3)之一。若为同余，则(c-b)为4之倍数，(c+b)为偶，则a^2为8之倍数，a既为整数，则a^2为16倍数可知，故a为4之倍数。
其次，若a,b,c皆非3之倍数，则a，b对3之平方剩余为(1),于是a^2+b^2除3余2，而2非3之平方剩余。于是矛盾。故a,b必有一3之倍数。
最后，，若a,b,皆非5之倍数，则5之平方剩余为(1)，(4)若a^2，b^2同余，则a^2+b^2除5余2或3，而（2），（3）为5 之非平方剩余，于是矛盾。若a^2，b^2不同余，则a^2+b^2被5整除。即知c^2为5之倍数，既而知c为5之倍数。从此而知，a,b,c必有一5之倍数。于是abc必为60之倍数。证毕。