求助一道看似显然但不太好证的几何题

金刚 · 发表于 2010-6-10 17:21

请高手解一道看似显然但不太好证的数学题：设a,b,c是直角三角形的三边，且都是整数，求证abc是60的倍数。包括我以前的求助题，欢迎大家给出不同的解法，这样看到此帖子的网友也可以受到启发，谢谢

ccmmjj · 发表于 2010-6-10 17:32

这是简单的东西。先证明a,b,c有一个是3的倍数。再证明ab,ac,bc有有一个是4的倍数。最后证明a,b,c有一个是5的倍数。

金刚 · 发表于 2010-6-10 18:03

我很愚钝，请再详细一点

trx · 发表于 2010-6-10 18:35

是怎样的倍数？？
命题不严谨，为伪命题！！！

luyuanhong · 发表于 2010-6-10 19:30

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/06/11 10:40am 第 3 次编辑]

此题详细证明如下：

wangyangkee · 发表于 2010-6-10 20:14

同理对3,4的倍数作证。

金刚 · 发表于 2010-6-10 20:51

非常感谢陆老师及各位的热情帮助，但是我还要请教陆老师：并不是所有的勾股数都可以表示为2mn,m^2-n^2,m^2+n^2,如：9，12，15

luyuanhong · 发表于 2010-6-10 23:23

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/06/10 11:25pm 第 1 次编辑]

下面引用由金刚在 2010/06/10 08:51pm 发表的内容：
非常感谢陆老师及各位的热情帮助，但是我还要请教陆老师：并不是所有的勾股数都可以表示为2mn,m^2-n^2,m^2+n^2,如：9，12，15

楼主说得不错，我疏忽了。
应该是任何一组没有公因子的勾股数可以表示为 m^2-n^2 ，2mn ，m^2+n^2 的形式。
谢谢楼主向我指出，现在我已经在帖子中做了更正。

申一言 · 发表于 2010-6-10 23:52

证
显然由中国的商高定理知勾3,股4,弦5，又符合毕达哥拉斯定理
Xˇ2+Yˇ2=Zˇ2，而且都是正整数！
所以 abc=k(3*4*5)=60k, k=1,2,3,,,
因此abc是60的倍数得证。

金刚 · 发表于 2010-6-11 06:33

谢谢陆老师，不过还想请教您：a,b,c是直角三角形的三边的必要条件（当然充分性谁都会证）是三边长分别为
m^2-n^2,2mn,m^2+n^2.这个命题如何证，如果这个命题证不出来，那么原来的命题证明还是不完整的。我很愚钝，给您添麻烦了

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