[原创]有理数会稠密吗？

zhaolu48 · 发表于 2005-12-15 08:16

[watermark]　　　　　　　　　　　　　　有理数会稠密吗？
有理数的定义是：
　　正整数，正分数，负整数，负分数和零统称有理数。
　　分数化成小数都是有限小数或无限循环小数。
无理数的定义是：无限不循环小数。
从而有理数的定义又可为：
　　正整数，正的有限小数或正的无限循环小数，负整数，负的有限小数或负的无限循环小数和零统称为有理数。
　　所谓无限循环小数，它的循环节的位数，也必须是有限的。
　　什么是有限小数呢？那么对于一个具体的有限小数，必存在一个自然数n，这个小数的小数部分的位数等于n。
　　那么是否存在一个非常大的自然数M，使所有的有限小数的分的位数与无限循环小数的循环节的位数都小于或等于M，而不能大于M呢？这样的M应该是存在的，如果不存在这样的M，那么就变成在所有的有限小数或无限循环小数中存在"有限小数的的小数部分的位数或无限循环小数的循环节的位数为无限的了"，因为不能有这样的矛盾存在，因此这样的M是存在的。
　　由此可知，小数部分的位数大于M的就要当作无限小数对待了，从而循环节的位数大于M的小数，也就不能当做有理数对待，即当作无理数对待了。
　　把有限小数或无限循环小数化为(既约)分数，分母的位数不会大于这个有限小数的位数或无限循环小数的循环节的位数。
　　因此也存在自然数P，使每个分数的分母都不大于P。
　　例如对于0与1之间的有理数会稠密吗？
　　已往认为是稠密的。
　　但对于1/2^n,必存在自然数Q，当n>Q时，2^n>

，那么当n>Q时的1/2^n就不能当作有理数对待了。
　　即0与1/p之间就不存在有理数了。
　　由此可知，两有理数的差的绝对值是不能小于1/P的。
　　因此有理数是不稠密的，而是稀疏的。即有理数集是稀疏集。
　　实数集是稠密集，连续集。
　　可列集与不可列集的概念内涵与外延很不清楚，因此可定义稠密集就是连续集，因为这与数学分析中定义的连续函数的概念并不冲突。
　　从而可把无限集分为稠密集与稀疏集两类，或称为连续集与疏朗集。
　　疏朗集的测度当然是零。
　　稠密集的测度可为任何非负实数，或+∞。
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珠穆亚纳 · 发表于 2005-12-17 21:50

在无穷分割后，仍然是不连续的。或者称你所说的：稀疏、或者疏朗的。旧体系对此概念“浅尝辄止”，并没有深究，也就留下了巨大的漏洞。

wangyangkee · 发表于 2010-5-30 14:15

希望俞根强，闹蠢货，闹下去，，，否则，，，俞氏荣耀，要泡汤，会打水漂，，，，

zhaolu48 · 发表于 2010-5-30 14:52

谢谢 wangyangkee 先生把我的陈年老帖又翻出来了

zhaolu48 · 发表于 2010-5-30 15:03

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/05/30 03:05pm 第 1 次编辑]

下面引用由zhaolu48在 2005/12/15 08:16am 发表的内容： 实数集是稠密集，连续集。

实数集应当是连续集。对于实数的一个“公理”：对任意二实数a,b，如下三种关系 a>b, a

顽石 · 发表于 2010-5-30 19:35

下面引用由zhaolu48在 2005/12/15 08:16am 发表的内容：
(水印部分不能引用)

实数连续统，或者实数连续集，是根本不存在的！
任何实数，在线段上只能表示成一个确定的点，点不能填满线段，那是因为任何一个点，都是0长度，无穷多个0长度，不能组成一个有长度的线段！
赵先生主题帖的观点，很多都是正确的，我赞成。但是，对于连续集的说法，不赞成。

elimqiu · 发表于 2010-5-30 19:54

你赞成狗屎堆逻辑，所以你赞成的东西顶多只构成狗屎堆数学。你还实数呢，连不依赖进制数系都构造不了么。

顽石 · 发表于 2010-5-30 20:30

下面引用由elimqiu在 2010/05/30 07:54pm 发表的内容：
你赞成狗屎堆逻辑，所以你赞成的东西顶多只构成狗屎堆数学。你还实数呢，连不依赖进制数系都构造不了么。

无尽小数的位数能构造的，因此，它是存在的；而无尽小数的位数不需要构造，这样的所谓无尽小数是不存在的！看似相同的一个无尽小数，却存在不同的构造速度！庞加莱认为：实无穷“那是不存在的，只有能构造的才是存在的”。
_eOH
当n和P趋向于无穷大时，[z
2进制0.11111……为十进分数求和：1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2＾nBd
3进制0.22222……就是：2/3 + 2/9 + 2/27 + … + 2/3＾n}PFX}
4进制0.33333……就是：3/4 + 3/16 + 3/64 + … + 3/4＾naopB
5进制0.44444……就是：4/5 + 4/25 + 4/125 + … + 4/5＾nyS"5_g
…………+"
P+1进制的0.PPPPP……，就是十进分数求和形式：P/(P+1) + P/(P+1)＾2 + P/(P+1)＾3 + … + P/(P+1)＾n*f2
上述全部都能够变换成10进制的无尽小数形式：0.99999……。其极限皆为1。UMg_j
按照网友e1的观点，无穷与构造无关，因此也与时间无关，既然都是十进制无尽小数0.99999……，上述各种不同表现形式都没有实质上的区别。!
其实不然，它们的不同在于构造方法构造速度不同，例如，可用三进制，十进制，万进制，作相互比较。H';gD
（1）三进制无尽小数0.22222……，变换成十进制分数数列的求和形式是：2/3 + 2/9 + 2/27 + … + 2/3＾n，依次累加就是十进制无尽小数0.99999……，对于这个0.99999……，每个连续9的构造速度，大约是平均每2.2个分数项的相加，才能产生一个9，紧靠连续9的后面一定都不是连续的0，而是越来越长的小数循环节；J%D
（2）构造十进制无尽小数0.99999……，非常简单，十进制分数数列的求和形式9/10 + 9/100+ 9/1000 + … + 9/10＾n依次累加就是十进制无尽小数0.99999……，每个分数项本身就是这个小数的一个9，紧靠连续9的后面一定都是连续的0；=
（3）构造万进制无尽小数0.99999……，也非常简单，十进制分数数列的求和形式9999/10000 + 9999/100000000+ 9999/1000000000000 + … + 9999/10000＾n依次累加就是十进制无尽小数0.99999……，每个分数项本身就是小数的4个9连续，构造速度非常高！紧靠连续9的后面一定都是连续的0；

elimqiu · 发表于 2010-5-30 20:44

所以你搞空空如也的数学了。哈哈

顽石 · 发表于 2010-5-31 07:09

下面引用由elimqiu在 2010/05/30 08:44pm 发表的内容：
所以你搞空空如也的数学了。哈哈

你“满满如也”的所谓空间，就是“本来就满”，哪来的的点？哪来的数学？
空间本来就空空如也，加上很多点，就形成数量关系、空间形式，因此就有数学，但是，虽然有了这些内容，空间总量长度仍然没有因此而丝毫的损耗，从这个长度意义上来说，空间仍然空空如也！这就是数学的奇妙，你能理解？！

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