在四边形 ABCD 中，已知 AB=8，BC=15，CD=17，DA=10，求 ABCD 内切圆面积的最大值

wintex · 发表于 2020-5-8 22:19

請問幾何

elim · 发表于 2020-5-9 11:08

本帖最后由 elim 于 2020-5-8 21:47 编辑

首先只需考虑凸四边形, 而对凸四边形(8+17=10+15)其内切圆必与各边相切,
于是内切圆半径 r = 2(四边形面积)/四边形周长

王守恩 · 发表于 2020-5-9 19:02

本帖最后由王守恩于 2020-5-9 19:46 编辑

谢谢 elim ！这样可以吗？其中：25=(8+15+17+10)/2

elim · 发表于 2020-5-9 20:56

略加论证，使用以下公式简化计算

elim · 发表于 2020-5-10 04:43

本帖最后由 elim 于 2020-5-9 21:43 编辑

Bretschneiders formula

luyuanhong · 发表于 2020-5-10 08:08

楼上 elim 的帖子很好！已收藏。

luyuanhong · 发表于 2020-5-10 08:09

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

luyuanhong · 发表于 2020-5-10 08:13

下面是网友天山草过去在《数学中国》论坛上发表过的一个帖子：

这个公式来源于莫斯科某个数学继续教育中心。经验证这个公式完全正确。不知如何证明？特别是如何使用机器证明？

如果四边形有内切圆（注意，不是外接圆哈），公式中的第二项分子将为零（因对边和相等），只剩下第一项。

如果四边形有外接圆（对角和相等，都等于 180 度），这公式可简化为楼上的样子。

王守恩 · 发表于 2020-5-10 09:54

本帖最后由王守恩于 2020-5-10 18:30 编辑

elim 发表于 2020-5-10 04:43
Bretschneiders formula

瞎猫撞上死耗子了！看来我运气还是不错。
1，每个四边形都可以有最大面积，因为每个四边形都可以有外接圆。
2，但四边形不一定都有内切圆最大面积，因为四边形不一定都有内切圆。

elim · 发表于 2020-5-10 12:45

对五楼做了一个订正.

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在四边形 ABCD 中，已知 AB=8，BC=15，CD=17，DA=10，求 ABCD 内切圆面积的最大值

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