[求助】不等式

jfzh334467

设f(x)=ax^2+bx+c ，若f(1)=7/2,问是否存在a,b,c属于R，使得不等式：x^2+1/2小于等于f(x)小于等于2x^2+2x+3/2对一切实数x都成立，证明你的结论。

ygq的马甲

[这个贴子最后由ygq的马甲在 2009/10/07 00:07am 第 2 次编辑]

先试一试
[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-
设f(x)=ax^2+bx+c ，若f(1)=7/2,
f(1)=a+b+c =7/2
c=7/2-a-b
已经用掉一个条件
1、2x^2+2x+3/2 = x^2+ 1/2 + x^2+2x+1 = x^2+ 1/2 +（x+1）^2
因此，由x^2+ 1/2 小于等于f(x)小于等于2x^2+2x+3/2 不必考虑 x 本身的范围

2、由于 f(x)=ax^2+bx+c 是二次抛物线曲线，x 轴两边的数值只取决于系数 a ,若要 f(x)小于等于2x^2+2x+3/2 对 x 轴两边的数值也成立，那么 a ≤2
同理，若要 x^2+ 1/2 小于等于f(x) 对 x 轴两边的数值也成立，那么 a ≥1
3、在范围  1 ≤a ≤2 取“等号＝”时，并不能保证 对一切实数x都成立，
例如 a=2 时，f(x)小于等于2x^2+2x+3/2
2x^2+bx+c ≤2x^2+2x+3/2
x 的取值范围与 b 有关，与对一切实数x都成立冲突，即不能取“等号＝”。同理也不能取 a=1

ygq的马甲

[这个贴子最后由ygq的马甲在 2009/10/07 01:36am 第 6 次编辑] x^2+1/2小于等于f(x) x^2+1/2 ≤ ax^2+bx+7/2-a-b (a-1)x^2+bx+3-a-b ≥0 因 (a-1)>0 ，两边除 (a-1)，不等号保持原来的方向 x^2+ b/(a-1)* x + (3-a-b)/(a-1) ≥0 [x+b/(a-1)/2 ]^2- b^2/(a-1)^2 /4+(3-a-b)/(a-1) ≥0 对一切实数x都成立，只要 - b^2/(a-1)^2 /4+(3-a-b)/(a-1) ≥0 -b^2+4(a-1)(3-a)-4(a-1)b≥0 -[b+2(a-1)]^2+4(a-1)[(3-a)+(a-1)]≥0 -[b+2(a-1)]^2+8(a-1)≥0 b 可以有实根 [br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=- 还有一个条件 f(x)小于等于2x^2+2x+3/2 ax^2+bx+7/2-a-b≤2x^2+2x+3/2 (a-2)x^2+(b-2)x+2-a-b ≤0 因 (a-2)<0 ，两边除 (a-2)，不等号换方向 x^2+ (b-2)/(a-2) x +( 2-a-b)(a-2 )≥0 [x+(b-2)/(a-2)/2]^2 -(b-2)^2/(a-2)^2/4 +( 2-a-b)(a-2 )≥0 对一切实数x都成立只要 -(b-2)^2/(a-2)^2/4 +( 2-a-b)(a-2 )≥0 -[(b-2)/(a-2)/2+1]^2 +1-a/(a-2)≥0 -[(b-2)/(a-2)/2+1]^2 +2/(2-a)≥0 因 (a-2)<0 ，b 有实数根 最后再【检验】是否有重合区域 a=3/2 ,b=1,c=1 那么 f(x)-(2x^2+2x+3/2) =(-1/2)x^2-x-1/2 =(-1/2)(x^2+2x+1) =-(x+1)^1/2 ≤0 f(x)-(x^2+1/2) =x^2/2+x+1/2 =(x+1)^2/2 ≥0 这样的条件是存在的，例如 a=3/2 ,b=1,c=1

申一言

>>>无实数根，些路不通!<<

ygq的马甲

下面引用由申一言在 2009/10/06 07:38pm 发表的内容： >>>无实数根，些路不通!<<

【鉴定】和【评估】结论是：“无知者无畏”式的“蠢货”（申一言） 不是还没试完吗 ？？？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=- 千万不要说：网上答题，有时间限制

changbaoyu

不是还没试完吗 ？？？点实成金成实点——  *啊!

梅飞

下面引用由申一言在 2009/10/06 07:38pm 发表的内容： >>>无实数根，些路不通!<<

让他多想想这样的问题，就不是大白痴了。

ygq的马甲

[这个贴子最后由ygq的马甲在 2009/10/06 09:51pm 第 3 次编辑]

【思路】有问题，重新来过。
[br][br][color=&#35;990000]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-
设f(x)=ax^2+bx+c ，若f(1)=7/2,
f(1)=a+b+c =7/2
c=7/2-a-b
已经用掉一个条件

x^2+1/2小于等于f(x)小于等于2x^2+2x+3/2对一切实数x都成立，
2x^2+2x+3/2=x^2+1/2+x^2+2x+1=x^2+1/2+(x+1)^2
因此 x 本身是不受这两个边界的影响的
由于 f(x)=ax^2+bx+c 是二次抛物线曲线，其开口方向决定了 x 轴两边的数值
由 f(x)小于等于2x^2+2x+3/2 ，对一切实数x都成立，那么 a≤2
由 x^2+1/2小于等于f(x) ，对一切实数x都成立，那么 a ≥1

ygq的马甲

最后再【检验】是否有重合区域
a=3/2 ,b=1,c=1
那么 f(x)-(2x^2+2x+3/2)
=(-1/2)x^2-x-1/2
=(-1/2)(x^2+2x+1)
=-(x+1)^1/2
≤0
f(x)-(x^2+1/2)
=x^2/2+x+1/2
=(x+1)^2/2
≥0
这样的条件是存在的，例如 a=3/2 ,b=1,c=1

wanwna

这个题目有那么难吗？...
f(x)=3/2x^2+x+1