复数有正负，大小之分吗，为什么，请说明理由

永远

复数有正负，大小之分吗，为什么，请说明理由

波斯猫猫

众所周知，复数是二元数x+yi（x、y∈R），它们都可以看成是以原点为起点的位置向量。而向量是没有正、负和大小之分的，只有模（非负数）才有大小之分。另一方面，当y=0时，复数x+yi（x、y∈R）变为实数x，成为一元数（可视为特殊的向量），所对应的向量都在实轴x上，且任意两个非零实数它的方向只有同向或反向两个方向，即实轴x上所规定的正方向或负方向，也就是说，在实数范围内，我们可以建立正数、负数和大小等的概念。所以，我们常说复数（实为虚数）是在实数的基础上的推广。
人们曾经也试图建立复数的正或负的概念，或大小关系，但是，由虚数单位i的性质i＾2=-1出发，会得到一些矛盾的结论。

永远

貌似以前陆老师的帖子有详细介绍，，我找了一天没找到

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

luyuanhong

下面是网友 elim 过去在《数学中国》论坛上发表过的一个帖子：

任何集合都可以定义序关系。说复数域不能成为有序域是因为不论如何定义序，它都不能满足以下二公理：

对域中任意元 x, y, z,

(1) x < y 蕴含 x+z < y+z,

(2) x > 0, y > 0 蕴含 xy > 0。

当然，不满足这些的序关系还是可以有别的用处的。但是大量有序域中成立的不等式肯定要泡汤。

永远

luyuanhong 发表于 2020-2-24 13:47
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

谢谢陆老师的解答

denglongshan

假设i＞0，两端乘以ii得,1＞0，显然错误，假设i＜0，也会得到类似的错误结论。

任在深

楼主你好？
       该问题可以从复数的定义以及它的结构来区分复数是否有大小（单位）。
1.复数：
         (1)  Z=X+iy ,    (X,Y)

               因为该复数表示点  (x,Y),而点是没有大小的零维单位(√n)^0！
               所以复数没有大小。
                         ________
       (2) ▏Z▏=▏√X^2+Y^2 ▏

           复数的模是表示线段的量，是一维单位(√n)^1,所以此时才有一维单位的量，
                                 ________
     (3)   {▏Z▏}^2={▏√X^2+Y^2 ▏}^2
                         =x^2+y^2
          复数模的平方数则是表示面积的量，是二维数单位量。


    (4)由复数的表示法可知：

                i.  X+yi    (+,+) 第一象限，
               ii.  -X+Yi   (-, +)第二象限，
              iii.  -X-Yi     (- , -)第三象限，
               vi.  X-Yi     (+, -)第四象限。