本原勾股方程

蔡家雄

蔡家雄勾股数公式1

设 n^2=u*v ,且 n>1, u>v, n,u,v 均为正整数，

若 u,v 一奇一偶且互质 及 n有t个不同的质因子，

则 (u-v)^2+(2n)^2=(u+v)^2 有2^(t-1)组本原勾股数。

由公式1，等式两边同时除以4，得

蔡家雄勾股数公式2

设 n^2=u*v ,且 n>2, u>v, n,u,v 均为正整数，

若 u,v 同奇且互质 及 n有t个不同的质因子，

则 n^2+[(u-v)/2]^2=[(u+v)/2]^2 有2^(t-1)组本原勾股数。


红色部分是我首次提出来的，不是朱火华的，他想变形模仿偷窃。


等和勾股方程

设 2n -1 与 k 互素，

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= p=|(2n -1)^2 - 2*k^2|，

若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 为素数或素数幂，

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。


若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= 7*17，

由 7*17 有 2个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(2-1)组 本原勾股数。

1-----( a=39, b=80, c=89 )

2-----( a=99, b=20, c=101 )


若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= 7*17*23，

由 7*17*23 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=73, b=2664, c=2665 )

2-----( a=1425, b=1312, c=1937 )

3-----( a=1705, b=1032, c=1993 )

4-----( a=2173, b=564, c=2245 )


特殊勾股方程

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^n 及 c=s^n, ( n>=2 )

的 本原勾股数，你能找到吗？

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )

的 本原勾股数 是 存在的。

a=1061652293520 , b=4565486027761 , c=2165017^2

a, b 互质，且 a+b=2372159^2 及 c=2165017^2.


勾股弦方程

若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2n ,

若 2n 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 2n=2^k ,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。


若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+7744 ,

由 7744 有 2个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(2-1)组 本原勾股数。

1-----( a=22385, b=9792, c=24433 )

2-----( a=7745, b=29992512, c=29992513 )


若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2020 ,

由 2020 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )

2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )

3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )

4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )

蔡家雄

公共弦勾股数的个数公式

它与公共弦c的4x-1 型素数的指数 无关，

均与公共弦c的4x+1型素数的指数 有关，

设公共弦c中有t个4x+1型的素数，

它的指数为r1, r2, ... , rt,

则公共弦勾股数的个数公式为

[(1+2r1)*(1+2r2)*...*(1+2rt) -1]/2

定A勾股数解数及定C勾股数解数，200年前的大数学家Euler 早已发现！

蔡家雄

设 68^2=u*v ,且 u>v, u,v 均为正整数，

则 (2*68)^2+(u-v)^2=(u+v)^2

由 68^2=u*v,
得 (u,v)=(4624,1) (2312,2) (1156,4) (578,8) (289,16) (272,17) (136,34)

(2*68)^2+(4624-1)^2=(4624+1)^2 （本原解）

(2*68)^2+(2312-2)^2=(2312+2)^2

(2*68)^2+(1156-4)^2=(1156+4)^2

(2*68)^2+(578-8)^2=(578+8)^2

(2*68)^2+(289-16)^2=(289+16)^2 （本原解）

(2*68)^2+(272-17)^2=(272+17)^2

(2*68)^2+(136-34)^2=(136+34)^2


设 75^2=u*v ,且 u>v, u,v 均为正整数，

则 75^2+[(u-v)/2]^2=[(u+v)/2]^2

由 75^2=u*v,
得 (u,v)=(5625,1) (1875,3) (1125,5) (625,9) (375,15) (225,25) (125,45)

75^2+[(5625-1)/2]^2=[(5625+1)/2]^2 （本原解）

75^2+[(1875-3)/2]^2=[(1875+3)/2]^2

75^2+[(1125-5)/2]^2=[(1125+5)/2]^2

75^2+[(625-9)/2]^2= [(625+9)/2]^2   （本原解）

75^2+[(375-15)/2]^2=[(375+15)/2]^2

75^2+[(225-25)/2]^2=[(225+25)/2]^2

75^2+[(125-45)/2]^2=[(125+45)/2]^2


设 2021^2=u*v ,且 u>v, u,v 均为正整数，

则 2021^2+[(u-v)/2]^2=[(u+v)/2]^2

由 2021^2=u*v,   
得 (u,v)=(4084441,1) (94987,43) (86903,47) (2209,1849)

2021^2+[(4084441-1)/2]^2=[(4084441+1)/2]^2 （本原解）

2021^2+[(94987 - 43)/2]^2=[(94987+43)/2]^2

2021^2+[(86903 - 47)/2]^2=[(86903+47)/2]^2

2021^2+[(2209 - 1849)/2]^2=[(2209+1849)/2]^2 （本原解）

蔡家雄

罗士琳勾股数公式及其变形

设 x>y, x,y 一奇一偶且互质，

则 (x^2 - y^2)^2+(2xy)^2=(x^2+y^2)^2 为本原勾股数。

则 [(x+y)(x - y)]^2+(2xy)^2=(x^2+y^2)^2 为本原勾股数。

罗士琳勾股数公式及其变形

设 m>n, m,n 一奇一偶且互质，

则 (m^2 - n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2 为本原勾股数。

则 [(m+n)(m - n)]^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2 为本原勾股数。

罗士琳勾股数公式及其特例

设 奇质数p=m+n, 且 m>n, m,n 均为正整数，

则 [p*(m-n)]^2+(2mn)^2=[m^2+n^2]^2 必为本原勾股数。

p=13=12+1  [13*(12-1)]^2+(2*12*1)^2=[12^2+1^2]^2

p=13=11+2  [13*(11-2)]^2+(2*11*2)^2=[11^2+2^2]^2

p=13=10+3  [13*(10-3)]^2+(2*10*3)^2=[10^2+3^2]^2

p=13= 9+4  [13*(9 -4)]^2+(2*9*4)^2= [9^2+4^2]^2

p=13= 8+5  [13*(8 -5)]^2+(2*8*5)^2= [8^2+5^2]^2

p=13= 7+6  [13*(7 -6)]^2+(2*7*6)^2= [7^2+6^2]^2

罗士琳勾股数公式及其变形

设 奇数Q=m+n,（m,n 互质 且 m>n, m,n 均为正整数）

则 [Q*(m-n)]^2+(2mn)^2=[m^2+n^2]^2 有 E/2组的本原勾股数。

其中，E 就是著名的 Euler 函数。但，不是朱火华的公式。

费尔马1

蔡家雄 发表于 2020-2-23 22:12
罗士琳勾股数公式及其变形

设 x>y, x,y 一奇一偶且互质，

罗士琳勾股数公式是由丢番图的勾股数公式变形得到的，这两个人的公式形状是一样的，区别在于，丢番图的公式中m、n是任意正整数，罗士琳的公式中m、n是一奇一偶且互质，这样就有，丢番图勾股数可以是本原的，也可以是直角三角形三边a、b、c有公约数2；罗士琳勾股数皆是本原勾股数。

wlc1

一道小题，朱火华先生会做吗？

公共弦C=125*841*89 的52组勾股数？

求不出：朱火华先生——丢人现眼！！

人们早已知道公共弦勾股数的解法，用xxxxx2050 的口气：我干嘛要把解法告诉你，

就算你找到了公共弦勾股数的解法，别以为自己在数学上发现了一个新大陆。

朱明君——华而不实、昏而不明，

蔡家雄

分析：朱火华的奇数为勾全部解公式，

反例：x^2=15^2=25*9,
15^2+[(25-9)/2]^2=[(25+9)/2]^2
15^2+8^2=17^2（15为股，8为勾）

朱明君先生何为勾，何为股都分不清，昏而不明，

费尔马1

蔡家雄 发表于 2020-2-24 10:40
一道小题，朱火华先生会做吗？

罗士琳勾股数公式及其变形

蔡老师的这个小题也许是一个大题啊！不要小瞧这个题，我白天干活，等晚上我来解，我来学习蔡老师的奇妙的招数。

费尔马1

我天天上班很忙，至今还没有下笔解这个题，我在干活的时候也考虑了，如果采用Q的分解质因子，加上其它的质因子进行若干种乘法运算的组合，从而得到m-n的奇数数列，实在是不易分类，如果采用编程进行暴力搜索，我又不会编程，看来，这个题的解法还得从长计议啊！也不知道朱明君老师是不是在解这个“小题”呢？
明显的，当Q为素数时，其m+n与m－n数对个个是互质的，都得到本原的勾股数，要用比较小的合数Q进行大量的试验，总结规律，并加以证明，我没有空啊！

费尔马1

关于这个“小题”还请蔡老师不吝指教！谢谢老师！