本原勾股方程

蔡家雄

本原勾股数新公式

设 \(n\)为正整数，\(k\)为非负整数，

设 \(a= 2^{k+1}*(2^k+2n -1)\)
    \(b= ((2n+2^k -1))^2 -2^{2k}\)
    \(c= ((2n+2^k -1))^2 -2^{2k}+2^{2k+1}\)

则 \(a^2+b^2 =c^2\)

当 \(k=0\) 时，有 \(a=4n,  b=4*n^2 -1,  c=4*n^2+1\).

当 \(k=1\) 时，有 \(a=8n+4,  b=(2n+1)^2 -4,  c=(2n+1)^2+4\).

当 \(n <=Floor[\frac{1 + 2^k\sqrt{2}}{2}]\) 时，\(a\) 是股，不是勾，


本原勾股数新公式

设 \((2k -1)\) 与 \((2n+1)\) 同奇且互素，

设 \(a= (2k -1)*(2n+1)\)
    \(b= 2*n^2+4kn -2n\)
    \(c= 2*n^2+4kn -2n+(2k -1)^2\)

则 \(a^2+b^2 =c^2\)

当 \(k=1\) 时，有 \(a=2n+1,  b=2*n^2+2n,  c=2*n^2+2n+1\).

设 \(A=b^2-a^2\), \(B=2ab\) ,

则 \((b^2-a^2)^2+(2ab)^2=A^2+B^2=C^4\) ,

例 \(a=7, b=24, c=25\), 则 \(A\)是股不是勾，\(B\)是勾不是股，

蔡家雄

鲁氏求一解法，不是大衍求一术

恒等式：\(2^n+2^n=2^{n+1}\)

恒等式：\(2^n+2^n+2^{n+1}=2^{n+2}\)

求：\(x^{n+1}+y^{n+1}=z^{n}\)

解：\((2^{n-1})^{n+1}+(2^{n-1})^{n+1}=(2^{n})^{n}\)

求：\(x^n+y^{n+1}=z^n\)

解：\((a^n-1)^n+(a^n-1)^{n+1}=(a*(a^n-1))^n\)，\(a > 1\) .

求：\(x^{n+1}+y^n=z^{n+1}\)

解：\((a^{n^2-1}-1)^{n+1}+(a^{n^2-1}-1)^n=(a*(a^{n^2-1}-1))^{n+1}\)，\(a > 1\) .

求：\(x^{2n}+y^{2n+1}=z^{2n+2}\)

解：\(((a^{2n+2}-1)^{2n+2})^{2n}+((a^{2n+2}-1)^{2n+1})^{2n+1}=(a*(a^{2n+2}-1)^{2n})^{2n+2}\)，\(a > 1\) .

求：\(x^{2n+1}+y^{2n+2}=z^{2n+3}\)

解：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

Treenewbee

\[\{x,y\}=\{2,5\},\{6,21\}\]

蔡家雄

求：\(x^{2021}+y^{2023}+z^{2025}+u^{2027}=w^{2029}\)

解：\((2^{3246769192275})^{2021}+(2^{3243559336425})^{2023}+(2^{3240355821031})^{2025}+(2^{3237158627325})^{2027}=(2^{3233967736613})^{2029}\)

蔡家雄

求：\(x^{20202021}+y^{20222023}+z^{20242025}+u^{20262027}=w^{20282029}\)

\(X=2^{51556092952812052708981532700}\)

\(Y=2^{51505097808990776930673642900}\)

\(Z=2^{51454203446081165193697360428}\)

\(U=2^{51403409565620512591358792100}\)

\(W=2^{51352715870323481831130002438}\)

蔡家雄

求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(x^{2n+1}+y^{2n+2}=z^{2n+3}\)

用：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

得：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n}+(2^{(n+1)(2n+2)})^{2n}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

得：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

蔡家雄

求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(2^0+2^0+2^1=2^2\)，

得：\(2^{0+a}+2^{0+a}+2^{1+a}=2^{2+a}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=131k ,  0+a=137k ,  1+a=139k ,  2+a=149k ,
0+a=131*137k ,               1+a=139k ,  2+a=149k ,

故，a=219994326 ,   

解：\((2^{1679346})^{131}+(2^{1605798})^{137}+(2^{1582693})^{139}=(2^{1476472})^{149}\)

蔡家雄

求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(3^0+3^0+3^0=3^1\)，

得：\(3^{0+a}+3^{0+a}+3^{0+a}=3^{1+a}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=131*137*139*k ,    1+a=149*k ,   

故，a=366711051 ,

解：\((3^{2799321})^{131}+(3^{2676723})^{137}+(3^{2638209})^{139}=(3^{2461148})^{149}\)

蔡家雄

求：\(x^{7}+y^{11}+z^{13}+u^{17}+v^{19}=w^{23}\)

用：\(2^0+2^0+2^0+2^0+2^2=2^3\)

用：\(3^0+3^0+3^0+3^1+3^1=3^2\)

用：\(5^0+5^0+5^0+5^0+5^0=5^1\)

Treenewbee

\[\left(3^{5848}\right)^{19}+\left(3^{6536}\right)^{17}+\left(3^{8547}\right)^{13}+\left(3^{10101}\right)^{11}+\left(3^{15873}\right)^7=\left(3^{4831}\right)^{23}\]