本原勾股方程

蔡家雄

求：\(y^2=41*x^2+49\) 的通项公式，

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-3-4 12:23
求：\(y^2=41*x^2+49\) 的通项公式，

\[x=\text{Round}\left[\frac{7 \left(320 \sqrt{41}+2049\right)^n}{2 \sqrt{41}}\right]\]
\[y=\text{Round}\left[\frac{7 \left(320 \sqrt{41}+2049\right)^n}{2}\right]\]

Treenewbee

Or

\[x=\left\lfloor \frac{7 \left(320 \sqrt{41}+2049\right)^n}{2 \sqrt{41}}\right\rfloor\]
\[y=\left\lfloor \frac{7 \left(320 \sqrt{41}+2049\right)^n}{2}\right\rfloor\]

Treenewbee

cz1 发表于 2024-3-4 19:56
求：\(a^2+ab+b^2=c^2\) 的通解公式，可以有吗？

\[ a^2+ab+b^2=c^2 \implies \left(\frac a c\right)^2+\left(\frac a c\right)\left(\frac b c\right)+\left(\frac b c\right)^2=1\implies m^2+mn+n^2=1\]

令 \[n=km-1\]
可得到 \[m^2+m(km-1)+(km-1)^2=1\]

\[(k^2+k+1)m^2-(2k+1)m=0\]

\[\ m=0; m=\frac{2k+1}{k^2+k+1}\]
\[(a,b,c)=(0,n,n),(k^2-1,2k+1,k^2+k+1)\]

Treenewbee

wlc1 发表于 2024-3-4 19:58
求：\(a^2+3ab+b^2=c^2\) 的通解公式，可以有吗？

\[ a^2+3ab+b^2=c^2 \implies \left(\frac a c\right)^2+3\left(\frac a c\right)\left(\frac b c\right)+\left(\frac b c\right)^2=1\implies m^2+3mn+n^2=1\]

令 \[n=km-1\]
可得到 \[m^2+3m(km-1)+(km-1)^2=1\]

\[\ m=0; m=\frac{2k+3}{k^2+3k+1}\]
\[(a,b,c)=(0,n,n),(k^2-1,2k+3,k^2+3k+1)\]

Treenewbee

\[a=k^2-1;b=2 k+r;c=k^2+r k+1;a^2+r a b +b^2=c^2\]

Treenewbee

88-90#根据对称性a,b可以互换

蔡家雄

这样的方程 \(a^3+ab+b^3=c^3\) 有解吗？

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-3-5 21:29
这样的方程 \(a^3+ab+b^3=c^3\) 有解吗？

{{75,90,105},{162,273,291},{222,252,300},{288,384,432}}

蔡家雄

设：\(P_n\) =1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782,
195025, 470832, 1136689, 2744210, 6625109, 15994428, 38613965, ... 是 佩尔数列，

求证：前 \(4k+1\) 个佩尔数的和是一个完全平方数。

1+2+5+12+29=
1+2+5+12+29+70+169+408+985=
1+2+5+12+29+70+169+408+985+2378+5741+13860+33461=