本原勾股方程

蔡家雄

求：\(x^{7}+y^{11}+z^{13}+u^{17}+v^{19}=w^{23}\)

解：\((5^{969969})^{7}+(5^{617253})^{11}+(5^{522291})^{13}+(5^{399399})^{17}+(5^{357357})^{19}=(5^{295208})^{23}\)

蔡家雄

求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

得：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

设：2n+1=131*137*139*k , 且 (2+131*137*139*k) 能被 149 整除，

得：2n+1=361721785 , 2n+3=361721787 , n+1=180860893 ,

解：\((2^{180860893*361721786})^{361721785}+(2^{180860893*361721785})^{361721785}+(2^{180860893*361721785})^{361721785}\)

\[=(2^{(180860893*361721785*361721786+1)/361721787})^{361721787}\]

即：\((2^{180860893*361721786*2761235})^{131}+(2^{180860893*361721785*2640305})^{137}+(2^{180860893*361721785*2602315})^{139}\)

\[=(2^{65421324871793113*2427663})^{149}\]

蔡家雄

求：\(x^{14}+y^{52}=z^{23}\) 易解，可以三项的底数都是2，

但，\(x^{14}+y^{23}=z^{52}\) 难解，不可能三项的底数都是2，

用：\(x^{14}+y^{46}=z^{52}\) ，

用：\(15^2+20^2=5^4\) ，

用：\((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{1+c})^{2}+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^{2}=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{4+c})^{2}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=7k ,         1+b=7k ,          1+c=7k ,  
2+a=23k ,       0+b=23k ,        1+c=23k ,  
0+a=26k ,       0+b=26k ,        4+c=26k ,  
0+a=182k ,     0+b=598k ,      1+c=161k ,  
2+a=23k ,       1+b=7k ,          4+c=26k ,  

故，a=182 ,     b=1196 ，       c=2414 ,  

解：\((2^{182}*3^{1197}*5^{2415})^{2}+(2^{184}*3^{1196}*5^{2415})^{2}=(2^{182}*3^{1196}*5^{2418})^{2}\)

即：\((2^{26}*3^{171}*5^{345})^{14}+(2^{8}*3^{52}*5^{105})^{46}=(2^{7}*3^{46}*5^{93})^{52}\)

cz1

求：\(x^{314}+y^{159}=z^{314159}\)

Treenewbee

\[(2^{24269283})^{314}+(2^{47928018})^{159}=(2^{24257})^{314159}\]

蔡家雄

最新发现，

若 2n+1,  u ,  w  两两互质，

则 \(x^{2n+1}+y^{2u}=z^{2w}\) 必有解。

蔡家雄

由：49，5，24 两两互质，

求：\(x^{49}+y^{10}=z^{48}\)

用：\(x^{98}+y^{10}=z^{48}\)

用：\((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{0+c})^2+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{0+c})^2=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^2\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=49k ,        1+b=49k ,        0+c=49k ,
2+a=5k ,          0+b=5k ,          0+c=5k ,   
0+a=24k ,        0+b=24k ,        1+c=24k ,
0+a=1176k ,    0+b=120k ,      0+c=245k ,
2+a=5k ,          1+b=49k ,        1+c=24k ,

故，a=3528 ,    b=2400 ,          c=4655 ,

解：\((2^{3528}*3^{2401}*5^{4655})^2+(2^{3530}*3^{2400}*5^{4655})^2=(2^{3528}*3^{2400}*5^{4656})^2\)

即：\((2^{72}*3^{49}*5^{95})^{98}+(2^{706}*3^{480}*5^{931})^{10}=(2^{147}*3^{100}*5^{194})^{48}\)

lusishun

X^49+y^10=z^48
解：由49k=48·10m+1，
得最小的k=49，m=5，
由a^2401+b^2400=c^2400,
得原方程的解是：
X=(a^2400-1)^49,
Y=(a^2400-1)^240,
Z=[a(a^2400-1)]^50.
(a为大于1的整数）

lusishun

cz1 发表于 2024-2-25 02:11
求：\(x^{314}+y^{159}=z^{314159}\)

解：由159k=314·314159m+1，
得k=38465707，
     m=62，
由此得，原方程的解是：
x=[a^(314·314159·62）-1]^（314159·62），
y=[a^(314·314159·62）-1]^38465707,
Z=｛a[a^（314·314159·62）-1]}^（314·62）。
（a为大于1的整数）

(接受网友的耐心验算）.

cz1

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