本原勾股方程

蔡家雄

求 a^2+(a+23*49)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，

求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =23*49 的最小2^2组 正整数解，

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解，

设 R1=xi, R2=yi,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn，得4组Rn数列

第1组 Rn=24, 29, 82, 193, 468, 1129, 2726, 6581, ...

第2组 Rn=26, 41, 108, 257, 622, 1501, 3624, 8749, ...

第3组 Rn=11, 48, 107, 262, 631, 1524, 3679, 8882, ...

第4组 Rn=19, 62, 143, 348, 839, 2026, 4891, 11808, ...

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差23*49 的本原勾股数。

蔡家雄

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= 7*17*23，

由 7*17*23 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=73, b=2664, c=2665 )

2-----( a=1425, b=1312, c=1937 )

3-----( a=1705, b=1032, c=1993 )

4-----( a=2173, b=564, c=2245 )

蔡家雄

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= 71*73*79*89，

由 71*73*79*89 有 4个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(4-1)组 本原勾股数。

1-----( a=1692817, b=34748856, c=34790065 )

2-----( a=9236565, b=27205108, c=28730333 )

3-----( a=12389217, b=24052456, c=27055745 )

4-----( a=21126105, b=15315568, c=26093657 )

5-----( a=23824017, b=12617656, c=26959025 )

6-----( a=24777285, b=11664388, c=27385613 )

7-----( a=33833865, b=2607808, c=33934217 )

8-----( a=35044317, b=1397356, c=35072165 )

蔡家雄

特殊勾股方程

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^n 及 c=s^n, ( n>=2 )

的 本原勾股数，你能找到吗？

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )

的 本原勾股数 是 存在的。

a=1061652293520 , b=4565486027761 , c=2165017^2

a, b 互质，且 a+b=2372159^2 及 c=2165017^2.

蔡家雄

蔡氏勾股弦方程

若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2n ,

若 2n 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 2n=2^k ,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。


若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+7744 ,

由 7744 有 2个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(2-1)组 本原勾股数。

1-----( a=22385, b=9792, c=24433 )

2-----( a=7745, b=29992512, c=29992513 )

蔡家雄

若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2020 ,

由 2020 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )

2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )

3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )

4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )

蔡家雄

请看，朱火华的点评：

证明：朱火华连小学数学：都没学好！

朱明君

蔡家雄 发表于 2020-2-22 08:36
请看，朱火华的点评：

证明：朱火华连小学数学：都没学好！

蔡家雄

这个图片，我是照着一本数论书输入word后的截图，

注意：不是 cai jiaxiong 的发现，但，我一直保存在PC中。

蔡家雄

勾股数组会群英，宿世因缘聚数坛。

与君缘分若是浅，岂能功成到彼岸？