可列集的幂集是可列集

zhaolu48

semigroup先生：
　　先生说我构造的对应不是1-1的。
　　请问，为什么说不是1-1的，用近世代数的语言说，是构不成单射，还是构不成满射，或者说f根本就不是映射。
　　1、如果说f不是映射，就如你说的，f只是P(B)的子集到N的对应，那就应该指出构造的f下在P(B)中漏掉了哪个元素；
　　2、如果是构不成单射，就应指出存在x,y∈P(B),x≠y，但确有f(x)=f(y)；
　　3、如果是构不成满射，就应该指出，在N中的哪个自然数，在p(B)中没有原象。
　　先生能在上面有三点中指出其中的一点，你说的f不是1-1的，才能令我心悦诚服。你说f不是1-1的，你应该说出f不是1-1的理由，即根据，至今没看到你的根据是什么。还请先生要不吝赐教。

semigroup

[这个贴子最后由semigroup在 2005/10/27 01:45am 第 1 次编辑] 作f(B)→N,x→f(x)=y，f: x为空集{ }时，y=1；若x非空，当b(i)∈x(i=1,2,3,4,…)时，y(i)=1，当b(i)不属于x(i=1,2,3,4,…)时，y(i)=0。 对f也可以作这样的叙述： 　　x为空集{ }时，a=1；x非空时，即x={b(i1),b(i2),…,b(ik)…}(i1,i2,…,ik,…∈N, i1f(x2)=N2, 那么对于N1,一定存在N,当n>N时,y=2^(2n-1)+…+2^(4-1)+2^(2-1)>N1, 而显然,f(x2)>y>N1,矛盾. 写到这里才发现一个问题,你定义的f对于任何无穷子集都在N中无象,如果你添加无穷大到N中的话,那么你的任何无穷子集对应的都是无穷大. 如果你不添加无穷大的话,那么你的f就不是映射了 若f是P(B)到N的映射,则对于一个无穷子集x={b(i1),...b(in)...},设 f(x)=N1,则显然存在ik>n>N1,那么f(x)=2^(ik-1)+…+2^(i2-1)+2^(i1-1)>N1,矛盾. 这里由于没带笔,我没有去找最小的ik,意思是一样的. 所以,你做的这个映射f,只在x为有限集的时候11对应于N.还有更多的无穷子集,那么他们对应于什么??? 以上问题,如有打字错误,请纠正.

semigroup

我用语可能也给你带来了点麻烦解释如下
到上.....满射
11.......单射
11到上...双射
前面一直以为你知道,可能我的用于老了点,不过左边那排是多用于代数中,右边的多见于分析方向中.当然也可以互用.

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2005/10/27 04:55am 第 2 次编辑]

semigroup 先生：
“到上.....满射
　11.......单射
　11到上...双射”
　　“11”是什么呀，一般都是把“11”当作一一映射的简化写法对待的。一一映射就是双射，这是我所见到的著作上，包括“代数”都是这样说的。而先生这里只把“11”当作单射。先生要自立系统无可厚非，但在你的系统里认为是不正确的东西，在一般性的系统里就不一定是错误的。
　　不过你指出的一点我早已意识到这方面有点漏洞，一直没有补充，但不是错误。
　　就是f：
　　当x为B的有限子集{b(i1),b(i2),…,B(in)}时，
　　令y=2^(i1-1)+2^(i2-1)+…+2^(in-1)；
　　当x为B的无限子集{b(i1),b(i2),…,B(in)…}时，
　　令y=2^(i1-1)+2^(i2-1)+…+2^(in-1)+…。
　　这里当然是x∈P(B)，y∈N，　i1,i2,…in为递增数列。
　　按先生的观点f是满射，不是单射。
　　不是单射，就是存在B的两个不同子集，对应着N中的同一个自然数，这可能吗？
　　把y当作x的序号，可把P(B)排列如下：
　“{ },
　　{b(1)},
　  {b(2)},{b(1),b(2)},
　  {b(3)},{b(1),b(3)},{b(2),b(3)},{b(1),b(2),b(3)},
　  {b(4)},{b(1),b(4)},{b(2),b(4)},{b(1),b(2),b(4)},{b(3),b(4)},{b(1),b(3),
b(4)},{b(2),b(3),b(4)},{b(1),b(2),b(3),b(4)},
  　……  ……  ……  ……  ……  ……  ……
　  {b(n)},{b(1),b(n)},{b(2),b(n)},…,{b(2),b(3),b(4),…,b(n-1),b(n)},
{b(1),b(2),b(3),…,b(n-1),b(n)},
  　……  ……  ……  ……  ……  ……  ……  ……”
　　真不知先生说它不是单射是如何得出的，也看不懂先生的叙述。
　　先生说多少都没用，只要能找到一对B的不同子集，在f下对应同一自然数才能说明先生的质疑是正确的；否则你的质疑“f不是单射”就是没有根据的。因为你离开了单射的定义。

semigroup

11映射就是你说的一一映射,也是指单射,你只要学过高等代数就知道了.
11到上的映射才是你说的双射,你文中所说 f是11,我理解你的意思是指我说的11到上.
很多中学的教材都称11映射是双射,这和一定的教学背景有关,但在抽象代数,你只要去看,就会发现,我说的11映射只是指单射,这不是我自立的系统.
你仔细看我的证明,我们对这样些概念上的不统一其实可以自己分析的出来我到底说的什么意思.
如果你实在不好理解,那么你把我证明中说的11映射当做你的单射,我的到上映射当作满射,我说的11到上映射理解成你的11映射,也就是双射.

semigroup

[这个贴子最后由semigroup在 2005/10/27 02:10pm 第 1 次编辑]

例子我给你了啊!
x1={b(1),b(3),...b(2n-1),...}
x2={b(2),b(4),...b(2n),...}
x1不等于x2,理解吧?
如果你认为无穷大也是一个数,那么
f(x1)=f(x2)=无穷大.
如果你认为无穷大不是一个数,f(x1)=?,f(x2)=?,你能告诉我吗?
    假如你说f(x1)=N1,f(x2)=N2,那么不妨假设N1>N2,........这个懂吧?
    那么
   N2=f(x2)=2^(2-1)+2^(4-1)+....+2^(2N1-1)+...>2^(2N1-1)>N1.......没有问题吧
这不矛盾了?
    如果N2>N1,同样的方式证明,懂不?
这样只能N1=N2.

semigroup

什么是映射?
先生对映射的概念理解有点模糊,对于映射f来说,其定义域的元素,在f下一定有象.
我昨天留言的第二部分证明告诉你的是
   你的这个f,从某种意义上来说(不计无穷大时),他不是映射.
你错误的地方在于,你对无穷这个概念理解不透,你总从有限的集合
   x={b(i1),...,b(in)}在f下对应于一个整数,想当然的推广到无穷集合
   x={b(i1),...,b(in),...}在f下也对应于一个非无穷大的数,但忽略了x自身的无限性,如我前面第二部分证明那样,这是不可能的.

semigroup

如果你还是不懂我在说什么,那么你就直接回答我下面这个问题
对于我给的x1,x2,请你告诉我f(x1),和f(x2)的大小关系,f(x1),f(x2)都是N中的数,对于N来说大小关系是全序关系,那么f(x1),f(x2)一定能比较大小.
好,你回答吧,哪个大?

zhaolu48

“x1={b(1),b(3),...b(2n-1),...}
x2={b(2),b(4),...b(2n),...}
x1不等于x2,理解吧?
如果你认为无穷大也是一个数,那么
f(x1)=f(x2)=无穷大.
如果你认为无穷大不是一个数,f(x1)=?,f(x2)=?,你能告诉我吗?
   假如你说f(x1)=N1,f(x2)=N2,那么不妨假设N1>N2,........这个懂吧?
   那么
  N2=f(x2)=2^(2-1)+2^(4-1)+....+2^(2N1-1)+...>2^(2N1-1)>N1.......没有问题吧
这不矛盾了?
   如果N2>N1,同样的方式证明,懂不?
这样只能N1=N2.”
　　你的这个问题提地非常好。
　　用现有的有关无穷大的理论确实很难说清楚。因为现有的关于无穷大的理论从没涉及到这样的问题，也没解决过这样的问题。
　　这好恰好说明了现有的关于无穷大(也包括无穷小)理论是太少了，并且在少得可怜的理论中，还有一部分是有争议的，即有的结论是对是错并没有得到一致的认可。
　　比如对于可列集与它的无限真子集的元素的个数相等，这个结论与极限理论及数学归纳法都是相悖的，并且与自然数的5条公理都有点相悖。
　　比如公理说，对任意自然数n,n+1都是它的后继数，即n+1>n,由此可得到自然数集不存在最大的自然数。可是却定义了一个可列集的“势”(有的书用阿列夫零表示，有的书用英语字母a表示，这里用a表示)，这个a说它不是数吧，又定义它大于任何实数，既然能与实数比较大小，它就应该是数，又因为它表示“个数”，因此也可认为它是“自然数”，但却又定义了a+1=a。
　　尤其是还有一个不成文的“公理：任意一个自然数都是有限的”，可有限的自然数却又构成了无限的自然数集(有事，待续)
　　
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/view.cgi?forum=5&topic=450
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semigroup

因此对于元素有无限多自然数集，自然数集必然存在表示元素无限多的自然数。因为如果没有表示元素无限多的自然数，即自然数集中“最大”自然数仍是有限的?
为什么N的无限子集,一定有"最大"元?
良序公理说最小元存在没有说最大啊!