在以 O(0,0)，A(n^2,0)，B(0,n) 为顶点的三角形三条边上和内部，各有几个格子点？

wintex

三角形的三頂點為 O(0，0)，A(n^2，0)，B(0，n)  請問有幾個格子點  , n 是自然數

解

OA 邊上有 (n^2 - 1) 個格子點，不含 O 和 A
OB 邊上有 (n - 1) 個格子點，不含 O 和 B
gcd(n^2，n) = n，AB 邊上有 (n - 1) 個格子點，不含 A 和 B


故三邊上有 (n^2 - 1) + (n - 1) + (n - 1) + 3 = (n^2 + 2n) 個格子點
內部有 [(n^2 - 1)(n - 1) - (n - 1)] / 2 = (n^3 - n^2 - 2n + 2) / 2 個格子點


所求 = (n^2 + 2n) + [(n^3 - n^2 - 2n + 2) / 2] = (n^3 + n^2 + 2n + 2) / 2 個格子點


請問紅色是為什麼?

luyuanhong

wintex

luyuanhong 发表于 2020-2-11 19:21

長方形內部扣掉對角線上的再砍一半 剛好是
(n^2 - 1)(n - 1) - (n - 1)] / 2

一定對嘛？這句話怎麼想得？

luyuanhong

wintex 发表于 2020-2-11 21:38
長方形內部扣掉對角線上的再砍一半 剛好是
(n^2 - 1)(n - 1) - (n - 1)] / 2

    因为长方形内部区域就是 2 个三角形内部区域再加上一条对角线（不包括两端），

所以一个三角形内部区域，就等于长方形内部区域减去对角线（不包括两端），再除以 2 。

    根据这一想法，三角形内部的格子点数就可以用下列方法求出：

         [(n-1)(n^2-1)-(n-1)]/2 = (n-1)(n^2-2)/2 。

    类似的想法，还可以直接用来计算三角形边上和内部的格子点总数。

    因为将 2 个三角形的三边和内部区域全部加在一起，等于一个长方形的四边和内部区域，再

加上一条长方形的对角线（包括两端），因为对角线重复加了两次。所以，一个三角形的三边和

内部的区域，等于长方形的四边和内部区域，加上一条对角线（包括两端），再除以 2 。

    根据这一想法，三角形三边和内部的格子点总数就可以用下列方法求出：

      [(n+1)(n^2+1)+(n+1)]/2 = (n+1)(n^2+2)/2 。