[原创]错位叠加法求任意线性方程的正整数解的组数

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/03/01 11:10am 第 1 次编辑]

[watermark]对于任意线性方程：m1x1+m2x2+m3x3+.....+mixi=S的正整数解的组数数目可以用Excel软件快速求出。（当然能求出整数N的分拆数目）。
第一步：方法是把给的方程中的系数有小到大排成一排，每一个系数占一列，最小的排在第二列，其他的依次类推排好。
第二步：把第一列放S，从第二行开始放数，从1直到S为止。
第三步：在第二列置数，对着第一列的S值置数，如果S能整除m1就在第二列对应S的行置数1，否则置数0。
第四步：在第三列放公式，让m2+2行的单元格值等于B2+C2,本列其余单元格公式有C(m2+2)的公式（B2+C2）扩展即可。
第五步，在前一列的基础上，从前一列有数的一行算起，错开本列系数个行号，仿照第三列的公式设置即可。
下边是元数不大于5的，S不大于500的一系列数据（线性方程正整数解的组数数目数据），系数可以不连续，也可以不是1为最小系数，对于任何正整数系数组合本方法都适用。
S=x=x+2y=x+2y+3z=x+2y+3z+4u=x+2y+3z+4u+5v
1=1====
2=1====
3=1=1===
4=1=1===
5=1=2===
6=1=2=1==
7=1=3=1==
8=1=3=2==
9=1=4=3==
10=1=4=4=1=
11=1=5=5=1=
12=1=5=7=2=
13=1=6=8=3=
14=1=6=10=5=
15=1=7=12=6=1
16=1=7=14=9=1
17=1=8=16=11=2
18=1=8=19=15=3
19=1=9=21=18=5
20=1=9=24=23=7
21=1=10=27=27=10
22=1=10=30=34=13
23=1=11=33=39=18
24=1=11=37=47=23
25=1=12=40=54=30
26=1=12=44=64=37
27=1=13=48=72=47
28=1=13=52=84=57
29=1=14=56=94=70
30=1=14=61=108=84
31=1=15=65=120=101
32=1=15=70=136=119
33=1=16=75=150=141
34=1=16=80=169=164
35=1=17=85=185=192
36=1=17=91=206=221
37=1=18=96=225=255
38=1=18=102=249=291
39=1=19=108=270=333
40=1=19=114=297=377
41=1=20=120=321=427
42=1=20=127=351=480
43=1=21=133=378=540
44=1=21=140=411=603
45=1=22=147=441=674
46=1=22=154=478=748
47=1=23=161=511=831
48=1=23=169=551=918
49=1=24=176=588=1014
50=1=24=184=632=1115
51=1=25=192=672=1226
52=1=25=200=720=1342
53=1=26=208=764=1469
54=1=26=217=816=1602
55=1=27=225=864=1747
56=1=27=234=920=1898
57=1=28=243=972=2062
58=1=28=252=1033=2233
59=1=29=261=1089=2418
60=1=29=271=1154=2611
61=1=30=280=1215=2818
62=1=30=290=1285=3034
63=1=31=300=1350=3266
64=1=31=310=1425=3507
65=1=32=320=1495=3765
66=1=32=331=1575=4033
67=1=33=341=1650=4319
68=1=33=352=1735=4616
69=1=34=363=1815=4932
70=1=34=374=1906=5260
71=1=35=385=1991=5608
72=1=35=397=2087=5969
73=1=36=408=2178=6351
74=1=36=420=2280=6747
75=1=37=432=2376=7166
76=1=37=444=2484=7599
77=1=38=456=2586=8056
78=1=38=469=2700=8529
79=1=39=481=2808=9027
80=1=39=494=2928=9542
81=1=40=507=3042=10083
82=1=40=520=3169=10642
83=1=41=533=3289=11229
84=1=41=547=3422=11835
85=1=42=560=3549=12470
86=1=42=574=3689=13125
87=1=43=588=3822=13811
88=1=43=602=3969=14518
89=1=44=616=4109=15257
90=1=44=631=4263=16019
91=1=45=645=4410=16814
92=1=45=660=4571=17633
93=1=46=675=4725=18487
94=1=46=690=4894=19366
95=1=47=705=5055=20282
96=1=47=721=5231=21224
97=1=48=736=5400=22204
98=1=48=752=5584=23212
99=1=49=768=5760=24260
100=1=49=784=5952=25337
101=1=50=800=6136=26455
102=1=50=817=6336=27604
103=1=51=833=6528=28796
104=1=51=850=6736=30020
105=1=52=867=6936=31289
106=1=52=884=7153=32591
107=1=53=901=7361=33940
108=1=53=919=7586=35324
109=1=54=936=7803=36756
110=1=54=954=8037=38225
111=1=55=972=8262=39744
112=1=55=990=8505=41301
113=1=56=1008=8739=42910
114=1=56=1027=8991=44559
115=1=57=1045=9234=46262
116=1=57=1064=9495=48006
117=1=58=1083=9747=49806
118=1=58=1102=10018=51649
119=1=59=1121=10279=53550
120=1=59=1141=10559=55496
121=1=60=1160=10830=57501
122=1=60=1180=11120=59553
123=1=61=1200=11400=61667
124=1=61=1220=11700=63829
125=1=62=1240=11990=66055
126=1=62=1261=12300=68331
127=1=63=1281=12600=70673
128=1=63=1302=12920=73067
129=1=64=1323=13230=75529
130=1=64=1344=13561=78045
131=1=65=1365=13881=80631
132=1=65=1387=14222=83273
133=1=66=1408=14553=85987
134=1=66=1430=14905=88759
135=1=67=1452=15246=91606
136=1=67=1474=15609=94512
137=1=68=1496=15961=97495
138=1=68=1519=16335=100540
139=1=69=1541=16698=103664
140=1=69=1564=17083=106852
141=1=70=1587=17457=110121
142=1=70=1610=17854=113456
143=1=71=1633=18239=116875
144=1=71=1657=18647=120362
145=1=72=1680=19044=123935
146=1=72=1704=19464=127578
147=1=73=1728=19872=131310
148=1=73=1752=20304=135114
149=1=74=1776=20724=139009
150=1=74=1801=21168=142979
151=1=75=1825=21600=147042
152=1=75=1850=22056=151182
153=1=76=1875=22500=155418
154=1=76=1900=22969=159733
155=1=77=1925=23425=164147
156=1=77=1951=23906=168642
157=1=78=1976=24375=173238
158=1=78=2002=24869=177918
159=1=79=2028=25350=182702
160=1=79=2054=25857=187572
161=1=80=2080=26351=192548
162=1=80=2107=26871=197613
163=1=81=2133=27378=202787
164=1=81=2160=27911=208052
165=1=82=2187=28431=213429
166=1=82=2214=28978=218899
167=1=83=2241=29511=224484
168=1=83=2269=30071=230165
169=1=84=2296=30618=235963
170=1=84=2324=31192=241860
171=1=85=2352=31752=247877
172=1=85=2380=32340=253995
173=1=86=2408=32914=260236
174=1=86=2437=33516=266581
175=1=87=2465=34104=273052
176=1=87=2494=34720=279629
177=1=88=2523=35322=286335
178=1=88=2552=35953=293150
179=1=89=2581=36569=300097
180=1=89=2611=37214=307156
181=1=90=2640=37845=314349
182=1=90=2670=38505=321657
183=1=91=2700=39150=329103
184=1=91=2730=39825=336666
185=1=92=2760=40485=344370
186=1=92=2791=41175=352194
187=1=93=2821=41850=360162
188=1=93=2852=42555=368253
189=1=94=2883=43245=376491
190=1=94=2914=43966=384855
191=1=95=2945=44671=393369
192=1=95=2977=45407=402012
193=1=96=3008=46128=410808
194=1=96=3040=46880=419736
195=1=97=3072=47616=428821
196=1=97=3104=48384=438040
197=1=98=3136=49136=447419
198=1=98=3169=49920=456936
199=1=99=3201=50688=466616
200=1=99=3234=51488=476437
201=1=100=3267=52272=486424
202=1=100=3300=53089=496555
203=1=101=3333=53889=506856
204=1=101=3367=54722=517304
205=1=102=3400=55539=527925
206=1=102=3434=56389=538696
207=1=103=3468=57222=549644
208=1=103=3502=58089=560745
209=1=104=3536=58939=572026
210=1=104=3571=59823=583464
211=1=105=3605=60690=595085
212=1=105=3640=61591=606866
213=1=106=3675=62475=618834
214=1=106=3710=63394=630965
215=1=107=3745=64295=643287
216=1=107=3781=65231=655775
217=1=108=3816=66150=668457
218=1=108=3852=67104=681309
219=1=109=3888=68040=694359
220=1=109=3924=69012=707582
221=1=110=3960=69966=721006
222=1=110=3997=70956=734607
223=1=111=4033=71928=748413
224=1=111=4070=72936=762399
225=1=112=4107=73926=776594
226=1=112=4144=74953=790972
227=1=113=4181=75961=805563
228=1=113=4219=77006=820341
229=1=114=4256=78033=835335
230=1=114=4294=79097=850520
231=1=115=4332=80142=865925
232=1=115=4370=81225=881524
233=1=116=4408=82289=897347
234=1=116=4447=83391=913368
235=1=117=4485=84474=929617
236=1=117=4524=85595=946067
237=1=118=4563=86697=962749
238=1=118=4602=87838=979636
239=1=119=4641=88959=996759
240=1=119=4681=90119=1014091
241=1=120=4720=91260=1031662
242=1=120=4760=92440=1049446
243=1=121=4800=93600=1067474
244=1=121=4840=94800=1085718
245=1=122=4880=95980=1104210
246=1=122=4921=97200=1122922
247=1=123=4961=98400=1141886
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249=1=124=5043=100860=1180518
250=1=124=5084=102121=1200190
251=1=125=5125=103361=1220122
252=1=125=5167=104642=1240286
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257=1=128=5376=111111=1344928
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259=1=129=5461=113778=1388583
260=1=129=5504=115143=1410797
261=1=130=5547=116487=1433292
262=1=130=5590=117874=1456039
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266=1=132=5764=123464=1549779
267=1=133=5808=124872=1573913
268=1=133=5852=126324=1598311
269=1=134=5896=127754=1623008
270=1=134=5941=129228=1647974
271=1=135=5985=130680=1673243
272=1=135=6030=132176=1698785
273=1=136=6075=133650=1724635
274=1=136=6120=135169=1750762
275=1=137=6165=136665=1777202
276=1=137=6211=138206=1803923
277=1=138=6256=139725=1830961
278=1=138=6302=141289=1858285
279=1=139=6348=142830=1885931
280=1=139=6394=144417=1913867
281=1=140=6440=145981=1942129
282=1=140=6487=147591=1970686
283=1=141=6533=149178=1999574
284=1=141=6580=150811=2028761
285=1=142=6627=152421=2058284
286=1=142=6674=154078=2088110
287=1=143=6721=155711=2118277
288=1=143=6769=157391=2148752
289=1=144=6816=159048=2179572
290=1=144=6864=160752=2210705
291=1=145=6912=162432=2242188
292=1=145=6960=164160=2273988
293=1=146=7008=165864=2306143
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296=1=147=7154=171120=2404620
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310=1=154=7854=197026=2906550
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312=1=155=7957=200927=2984195
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314=1=156=8060=204880=3063385
315=1=157=8112=206856=3103576
316=1=157=8164=208884=3144141
317=1=158=8216=210886=3185122
318=1=158=8269=212940=3226483
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320=1=159=8374=217048=3310432
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322=1=160=8480=221209=3396008
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355=1=177=10325=297714=5062072
356=1=177=10384=300295=5120588
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358=1=178=10502=305458=5239163
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360=1=179=10621=310679=5359786
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362=1=180=10740=315960=5482479
363=1=181=10800=318600=5544621
364=1=181=10860=321300=5607267
365=1=182=10920=323970=5670465
366=1=182=10981=326700=5734173
367=1=183=11041=329400=5798439
368=1=183=11102=332160=5863221
369=1=184=11163=334890=5928567
370=1=184=11224=337681=5994435
371=1=185=11285=340441=6060873
372=1=185=11347=343262=6127839
373=1=186=11408=346053=6195381
374=1=186=11470=348905=6263457
375=1=187=11532=351726=6332116
376=1=187=11594=354609=6401314
377=1=188=11656=357461=6471101
378=1=188=11719=360375=6541434
379=1=189=11781=363258=6612362
380=1=189=11844=366203=6683842
381=1=190=11907=369117=6755923
382=1=190=11970=372094=6828562
383=1=191=12033=375039=6901809
384=1=191=12097=378047=6975620
385=1=192=12160=381024=7050045
386=1=192=12224=384064=7125040
387=1=193=12288=387072=7200656
388=1=193=12352=390144=7276848
389=1=194=12416=393184=7353667
390=1=194=12481=396288=7431069
391=1=195=12545=399360=7509104
392=1=195=12610=402496=7587728
393=1=196=12675=405600=7666992
394=1=196=12740=408769=7746851
395=1=197=12805=411905=7827357
396=1=197=12871=415106=7908464
397=1=198=12936=418275=7990224
398=1=198=13002=421509=8072592
399=1=199=13068=424710=8155620
400=1=199=13134=427977=8239262
401=1=200=13200=431211=8323570
402=1=200=13267=434511=8408499
403=1=201=13333=437778=8494101
404=1=201=13400=441111=8580330
405=1=202=13467=444411=8667239
406=1=202=13534=447778=8754781
407=1=203=13601=451111=8843010
408=1=203=13669=454511=8931879
409=1=204=13736=457878=9021441
410=1=204=13804=461312=9111650
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412=1=205=13940=468180=9294121
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414=1=206=14077=475116=9479319
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420=1=209=14491=496334=10051546
421=1=210=14560=499905=10149391
422=1=210=14630=503545=10247923
423=1=211=14700=507150=10347197
424=1=211=14770=510825=10447164
425=1=212=14840=514465=10547880
426=1=212=14911=518175=10649296
427=1=213=14981=521850=10751468
428=1=213=15052=525595=10854347
429=1=214=15123=529305=10957989
430=1=214=15194=533086=11062345
431=1=215=15265=536831=11167471
432=1=215=15337=540647=11273318
433=1=216=15408=544428=11379942
434=1=216=15480=548280=11487294
435=1=217=15552=552096=11595431
436=1=217=15624=555984=11704302
437=1=218=15696=559836=11813965
438=1=218=15769=563760=11924370
439=1=219=15841=567648=12035574
440=1=219=15914=571608=12147527
441=1=220=15987=575532=12260286
442=1=220=16060=579529=12373801
443=1=221=16133=583489=12488130
444=1=221=16207=587522=12603222
445=1=222=16280=591519=12719135
446=1=222=16354=595589=12835818
447=1=223=16428=599622=12953330
448=1=223=16502=603729=13071619
449=1=224=16576=607799=13190744
450=1=224=16651=611943=13310654
451=1=225=16725=616050=13431407
452=1=225=16800=620231=13552952
453=1=226=16875=624375=13675348
454=1=226=16950=628594=13798543
455=1=227=17025=632775=13922597
456=1=227=17101=637031=14047457
457=1=228=17176=641250=14173183
458=1=228=17252=645544=14299723
459=1=229=17328=649800=14427137
460=1=229=17404=654132=14555372
461=1=230=17480=658426=14684488
462=1=230=17557=662796=14814433
463=1=231=17633=667128=14945267
464=1=231=17710=671536=15076937
465=1=232=17787=675906=15209504
466=1=232=17864=680353=15342914
467=1=233=17941=684761=15477229
468=1=233=18019=689246=15612395
469=1=234=18096=693693=15748473
470=1=234=18174=698217=15885410
471=1=235=18252=702702=16023267
472=1=235=18330=707265=16161990
473=1=236=18408=711789=16301641
474=1=236=18487=716391=16442166
475=1=237=18565=720954=16583627
476=1=237=18644=725595=16725969
477=1=238=18723=730197=16869255
478=1=238=18802=734878=17013430
479=1=239=18881=739519=17158557
480=1=239=18961=744239=17304581
481=1=240=19040=748920=17451564
482=1=240=19120=753680=17599452
483=1=241=19200=758400=17748308
484=1=241=19280=763200=17898076
485=1=242=19360=767960=18048820
486=1=242=19441=772800=18200484
487=1=243=19521=777600=18353132
488=1=243=19602=782480=18506708
489=1=244=19683=787320=18661276
490=1=244=19764=792241=18816780
491=1=245=19845=797121=18973284
492=1=245=19927=802082=19130732
493=1=246=20008=807003=19289188
494=1=246=20090=812005=19448596
495=1=247=20172=816966=19609021
496=1=247=20254=822009=19770405
497=1=248=20336=827011=19932814
498=1=248=20419=832095=20096191
499=1=249=20501=837138=20260601
500=1=249=20584=842263=20425987

白新岭

民间流传着这样一道数学题：今有100匹马，100块瓦,大马拖3块瓦,二马拖2块瓦,2个小马抬着1块瓦.问大马,二马,小马各有几匹.如果我们不去求实际解,而要问有几种答案的话,可以很快得出.有题目已给条件,可知(1)x+y+z=100,(x表示大马数,y表示二马数,z表示小马数),(2)3x+2y+z/2=100.把方程(2)*2-(1)推出5x+3y=100.把1-100之间的数逢3的倍数置数1,其余的置数0,然后从数字6开始叠加,得到100对应着6,说明5x+3y=100有6组正整数解,当x,y为正整数时,由(1)x+y+z=100可知z也是正整数.实际解为(17,5,78),(14,10,76),(11,15,74),(8,20,72),(5,25,70),(2,30,68).

白新岭

有2009人分成不同的2组，3组，4组，5组各有多少种方法。即方程x+2y=2009，x+2y+3z=2009，x+2y+3z+4v=2009，x+2y+3z+4v+5u=2009各有多少组正整数解。
利用上面给出的方法，把s扩大到2009后，扩展公式即可得到，分别为：
S（2009，2）=1004
S（2009，3）=335336
S（2009，4）=55889389
S（2009，5）=5572202761
如果求2009的2元，3元，4元，5元的表示法，就是求：
S（2009+2*1/2，2）=1004
S（2009+3*2/2，3）=336340
S（2009+4*3/2，4）=56392895
S（2009+5*4/2，5）=5684401044

白新岭

如果设计一个数使它的第一位放1，第二位放0，然后依次置数，质数-2位的地方置数1，其余位放0，然后以后边的位上有1的位与开始位的差位错位相加，能得到奇数位无数字1的情况吗？如果歌德巴赫猜想正确，就一定不出现奇位无数的情况。不成立倒可以出现奇位无数的情况。

吴代业２

这就是０＋０＝１，　０＋１＝１，　０＋２＝１．．．．１＋１＝１，　１＋２＝１　１＋３　＝１．．．．２＋２＝１，　２＋３＝１．．．．．
如果不求哥猜实际素数对，错位相加，１＋１＝１成立！

白新岭

这里有答案：2009拆分成4个不同自然数的数目或者x+2y+3z+4u=2009的正整数解的组数。（2楼帖子）