|
|
２００６年６月３日，哈佛大学教授、著名数学家丘成桐在中国科学院晨兴数学研究中心宣布：在美、俄等国科学家的工作基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已经彻底证明了庞加莱猜想。大师说：“这就像盖大楼，前人打好了基础，但最后一步——也就是‘封顶’工作是由中国人来完成的。”
然尔，丘教授的这一宣布却并没有得到国际数学界的响应，反尔在国际数学界上引起了一场轩然大波，因为国际数学界公认，庞加莱猜想其实已被俄罗斯天才数学家佩雷尔曼完全破解，2006年8月在西班牙举行的国际数学家大会上，国际数学联盟宣布将菲尔兹奖授予佩雷尔曼，从而，这场庞加莱猜想的风波以国际数学界正式宣布庞加莱猜想被佩雷尔曼完全破解而宣告结束．
然尔，庞加莱猜想的风波并没有就此结束，２００７年７月，中国的业余数学爱好者李冕先生做出惊世断言：庞加莱猜想涉及第二次数学危机，佩雷尔曼未能完全破解庞加莱猜想．
要知庞加莱猜想如何涉及第二次数学危机，可先来看一下庞加莱猜想的题目：
1904年，法国数学家庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭环形的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。这个猜想便称做是庞加莱猜想．
庞加莱猜想能够成立的一个必须的前提就是：一条封闭的环形曲线能够收缩成为一个点，若这个前提不能成立，则庞加莱猜想不成立．那么请问：如何才能让一条封闭的环形曲线收缩成为一个点呢？可以做一下这样的类比，一条线段是由无穷个点构成的，而且根据康托的证明：任意长度的线段点数皆相等，所以无论这条线段是长达千万公里（无穷大）还是短至几微米（无穷小），其线段上的点数皆相等，都是无穷个点，因此，若要让一条线段收缩成为一个点是不可能的．
由以上的类比可知：一条封闭的环形曲线也是由无穷个点构成的，因此若要让一条封闭的环形曲线收缩成为一个点也是不可能的，即：让无穷个点收缩成为一个点是不可能的．
也可以这样来理解一下：做一条以Ａ点为起点的射线，以Ａ点为圆心，以射线的任意长度为半径做圆，可以做出无穷多个同心圆来，根据康托的证明，无论圆的半径是多少，在圆周上的点数皆相等，小圆上的所有点可以与大圆上的所有点形成为一一对应，因此若要让一条由无穷多个点构成的封闭曲线收缩成为一个点，则意味着无穷个点全部重合在同一个点上，则最后圆的直径为０，圆的周长为０，而这个构想在现代数学理论基础之下是不能成立的，若这个构想能够成立，则说明无穷小等于０，而在３００年前，由于无穷小究竟是０还是非０的问题引起了激烈的争论，从而引发了第二次数学危机．
第二次数学危机已被著名的数学家柯西所解决，柯西在他的极限理论中明确的给出来了无穷小的定义，说明无穷小大于０，这一数学理论已被数学界广泛承认，但是因为柯西定义的无穷小不是０，则说明了庞加莱猜想在现代数学的理论基础之下不能成立，因此庞加莱猜想与现代数学存在着重大矛盾．
然尔，中国的业余数学爱好者李冕先生运用几何方法证明了：一条线段可以收缩成为一个点，从尔证明：无穷小＝０，李冕先生证明这个观点，乃是运用于他所创建出来的全新的数学理论工具：李冕直线定理．
李冕直线定理：（１）：直线（线段）上任意两点之间皆有距离，且距离不能为０．
（２）：若直线（线段）上任意两点之间的距离为０，则整条直线的长度为０．
证明如下：
建立一个平面直角座标系：x 轴为横座标，y 轴为纵座标， x 轴和y轴交于原点Ｏ，从Ｏ点处在座标系的第一象限上引出来一条射线，使该射线与Ｘ轴呈４５度角，从该射线上截取一条任意长度的线段ＯＲ，由Ｒ点向下做垂线交于Ｒ＇点，由此，Ｏ，Ｒ，Ｒ＇三点共同构成一个直角三角形．在三角形的斜边ＯＲ上的任意一点向下做垂线，在直角边ＯＲ＇上皆有交点，说明线段ＯＲ与线段ＯＲ＇上的点数一样多．并且为平行线式一一对应．
但线段ＯＲ为三角形的斜边，线段ＯＲ＇为三角形的直角边，由＂三角形的斜边必大于直角边＂可知，ＯＲ的长度大于ＯＲ＇，为什么两条长度不相等的线段上的点数竟然会一样多呢？
分析：在线段ＯＲ上任取一点，由此点向下做垂线，则垂足为该点所对应的象，象点与原象点和Ｏ点三点之间皆能构成为一个直角三角形，根据＂直角三角形的斜边必大于其直角边＂的定理，说明在线段ＯＲ上的任意一点至Ｏ点的距离必大于该点在线段ＯＲ＇上所对应的象点至Ｏ点的距离．
那么会不会存在在线段ＯＲ上的两点间的距离与该两点在线段ＯＲ＇所对应的象的两点的距离相等的情况呢？不会，因为：由前面所述，在线段ＯＲ上的任意一点与该点所对应的象和Ｏ点三点之间皆能构成为一个直角三角形，假设在线段ＯＲ上存在一点Ｘ，使得ＯＸ的距离与ＯＸ＇（Ｘ＇为Ｘ的象）的距离相等，则有：直角三角形的斜边ＯＸ＝直角边ＯＸ＇，矛盾．
假设在线段ＯＲ上有一点Ａ，使得ＯＡ的距离为０，则Ａ点与Ｏ点重合，Ａ点的象也交于Ｏ点上，三点重合成为一个点，即：Ａ点与Ａ点的象Ａ＇点不存在．
由此总结出来一条结论：两条长度不相等的线段若能够形成为一一对应，则其中一条线段上任意两点间的距离与该两点所对应的象的两点间的距离必不相等．
为了更为直观清楚的说明相同的点数如何才能构成不同长度的线段，以ＯＲ为半径在平面直角座标系的第一象限上画一个１／４弧，沿顺时针和逆时针方向旋转线段ＯＲ，观察线段ＯＲ＇的长度变化：ＯＲ＇的长度会随着角ＲＯＲ＇的角度的增大而缩短，随着角ＲＯＲ＇的角度的缩小而增长，如果做一个涵数，ＯＲ的长度为一个常量（不变量），ＯＲ＇的长度为变量，ＯＲ＇的长度随着角ＲＯＲ＇的角度的增大而缩短，随着角ＲＯＲ＇的角度的缩小而增长（角ＲＯＲ＇的角度的取值范围为０度至９０度），当线段ＯＲ沿顺时针方向与Ｘ轴重合时，角ＲＯＲ＇的角度为０度角，ＯＲ＝ＯＲ＇，在这种情况下，线段ＯＲ上任意两点间的距离与该两点在线段ＯＲ＇上所对应的象的两点间的距离相等．ＯＲ＇的长度在角ＲＯＲ＇的角度为０度时为最大值．
此时再沿逆时针方向旋转线段ＯＲ，线段ＯＲ＇的长度随着角ＲＯＲ＇的角度的增大而逐渐缩短，当角ＲＯＲ＇的角度无限的接近于９０度的时候，线段ＯＲ＇的长度无限的缩短，但只要线段ＯＲ＇存在，无论其长度如何的缩短，哪怕其长度为无穷小量，在线段ＯＲ＇上的所有点依然与线段ＯＲ形成为一一对应．从这里也可以看出来，线段ＯＲ＇上的点数也为一个不变量．
问：线段ＯＲ＇的长度能不能为０？
当线段ＯＲ与y轴完全重合的时候（即角ＲＯＲ＇的角度为９０度），在线段ＯＲ的任意一点向下做垂线，所有的垂足点全都交于x轴与y轴的原点Ｏ上，此时线段ＯＲ＇上的所有点全都与Ｏ点重合，即：线段ＯＲ＇的长度为０．
因此，最短的线段的长度为０，它是由无穷个点重合而成，即：最短长度的线段只有一个点．
思考：无穷小究竟是不是０？
由此得出来由李冕总结出来的李冕直线定理：
（１）：直线（线段）上任意两点之间皆有距离，且距离不能为０．
（２）：若直线（线段）上任意两点之间的距离为０，则整条直线的长度为０．
证明李冕直线定理的第一条：若在线段OR';上存在一个不是R';的点A';，则O点和A';两点之间必有距离，若两点之间没有距离，则O点和A';两点重合成为一个点，A';点其实就是O点,因此A';点不存在.
证明李冕直线定理的第二条：在线段OR';上存在着三个点:O点,Ｂ';点和Ｃ';点，假设ＯＢ';的长度为单位１，Ｂ';Ｃ';的长度为大于１的任意数值（假设Ｂ';Ｃ';的长度为１００），若ＯＢ';之间的距离收缩为０，则Ｂ';Ｃ';之间的距离也必然收缩为０．
证：参照上述的平面直角座标系：当线段OR与x轴完全重合时,线段OR=线段OR';,在线段ＯＲ上有ＯＢ的距离为１，ＢＣ的距离为１００，则有:OB';=OB=1(B';是B点所对应的象),B';C';=BC=100(C';是C点所对应的象),沿逆时针方向旋转线段OR,则OB';和B';C';的长度随着角ROR';的角度的增大而缩短,若OB';之间的距离收缩为0,则B';点所对应的象B点与y轴重合,(B点所对应的象B';点交于原点O,即OB';=0).因为线段OB与y轴重合,而B点和C点在同一条直线上,所以C点也与y轴重合,(若一条线段上有两个点在一条直线上,则这条线段上的所有点全都在这条直线上,这里所说的直线指y轴),则C点的象C';点也交于原点O,即OC';=0,所以,若OB';=0,则B';C';=0,OC';=0.
根据上述的证明,若设线段OR';为一条无穷长的线段,在这条线段上存在一点A';,A';点与O点之间的距离为无穷小,沿逆时针方向旋转线段OR,同样可以推导出来,若OA';之间的距离收缩为0,则整条线段OR';的长度收缩为0,因此便有李冕直线定理的第二条:若直线(线段)上任意两点之间的距离为0,则整条直线(线段)的长度为0.
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
由李冕直线定理的证明可知：一条线段在两点间的距离为０（即无穷小等于０）的情况下可以收缩成为一个点．
由李冕直线定理引申到封闭的环形曲线上，便可以请明：封闭的环形曲线上的任意两点间皆有距离，且距离不能为０．若任意两点间的距离为０，则整条封闭的环形曲线收缩成为一个点．
因此庞加莱猜想在李冕直线定理的理论基础之下成立，即在承认无穷小等于０的前提下成立，否则不成立．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
附帖：庞加莱猜想的简单证明：
庞加莱猜想：在任何一个封闭的三维空间里，只要所有的封闭曲线都可以收缩成一点，则这一空间一定是三维圆球。
内蒙古李先生三言两语证明如下：
假如有一个和地球直径相等的大球，那么这个大球的表面上密布有无穷个点，而这无穷个点在大球的表面上可以组成为无穷条封闭的曲线．
假如有某种超自然的力量能够使得这个大球的体积不断收缩，当这个大球的体积收缩成为只有一个地球仪大小的小球时，那么这个小球的表面上仍然密布有无穷个点，而且小球的无穷个点与大球的无穷个点的点数是一样多的，并且能够形成为一一对应的关系．
若在大球的表面上确定一条经线，在小球的表面也确定一条经线，那么小球的这条经线上的所有点与大球经线上的所有点为一一对应的关系．
假如这种超自然的力量能够使得小球的体积继续无限缩小，当小球的体积缩小为无穷小，则最后大球上的所有点最终全都收缩至同一个点上，可以通俗的说一下就是：一个点对应无穷个点．也可以说是一个点之中包含有无穷个点．
则最后大球上的所有封闭的曲线也全都收缩至在这同一个点上，这个点就是大球的球心．
霍金的黑洞理论在庞加莱猜想中表现得一览无余．
中国哲学思想的精髓：有限之中蕴含无限，无限之中蕴含有限；物极必反；无中生有，有归于无等也在庞加莱猜想之中表现得一览无余．
思考：＂任何一个封闭的三维空间里，只要所有的封闭曲线都可以收缩成一点......＂，前一句话不理，只问一下：如何才能让一条封闭的曲线收缩成为一个点？
李冕定理：（１）：直线上任意两点之间皆有距离，且距离不能为０.（２）：若直线上任意两点之间的距离为０，则整条直线的长度为０.
李冕定理解释一下就是说：直线只有在直线上的所有点都有距离的情况下才能构成为一条直线，否则则不能构成为一条有长度的直线．若直线上任意两点（包括相邻两点）间没有距离，则所有点之间皆无距离，整条直线收缩成为一个点．
将李冕定理对应到封闭的曲线上也是同样的道理：封闭的曲线上任意两点之间皆有距离，若封闭的曲线上任意两点之间的距离为０，则整条封闭的曲线最终收缩成为一个点．
也就是说：庞加莱猜想只有在封闭的曲线上任意两点间无距离，也即是无穷小＝０的情况下才能够成立，否则不成立
|
|
IP卡
狗仔卡
发表于 2007-9-30 17:45
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
显身卡