[原创]一个与泰勒公式完全不同的级数公式以及伯努利数和欧拉数

李三梦

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公式：　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　   
　　　　　　x/k∑?[(an－b)x/k]＝[f(x)－f(0)]/a＋∑p(n)*(x/k)^n*[?(x)－?(0)]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
其中　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　第一个∑的范围：(n=1, j),　j=(1,2,3,...,j)　
          　　　
　　　　第二个∑的范围：(n=1,∞)　
　 　　　　　
　　　　?──函数 y=f(x) 的一阶导数符号
　　　　　　　
　　　　?──函数 y=f(x) 的Ｎ阶导数符号　
　　　　　　
　　　　p(n)──序列系数，由a , b 所定，可用递推公式得出。
　　　　　　　　　
　　　　a≠0,   k=aj,  │x│< 2πj
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　        
此式：当 a=1 , b=0 并且 j → ∞ 也就是 k → ∞ 时，成为一般的定积分公式。　
　　　　　　　
　　　　　　　　　　
      　　　泰勒级数公式反映的是函数与各阶导数之间的关系
　　　　　　　　　
　　　　　　此级数公式反映的是函数与各阶导函数之间的关系
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　
递推公式：　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　a^(t-1)＋∑t!/(t－n)!*p(n)*a^(t-n)＝t*(a－b)^(t-1)　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　∑的范围：[n=1,  (t-1)],　t=(2,3,4,...,t)　　　　　
　　　　　　   
　　　　　　
例如：t=2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　a＋2!/1!*p(1)*a＝2(a－b)　　　
            
      t=3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　a^2＋3!/2!*p(1)*a^2＋3!/1!*p(2)*a＝3(a－b)^2　
　　　　　　　　　　　以此类推！
　　　　　　　　　　　…　…

对于递推公式：　　　　　　
　　　　　　　　
ａ^（ｔ－１）＋∑ｔ！／（ｔ－ｎ）！＊ｐ（ｎ）＊ａ^（ｔ－ｎ）＝ｔ＊（ａ－ｂ）^（ｔ－１）　　　
　　　　　　　　
当　  ａ＝４　，　ｂ＝１ 　时　

ｐ（１）＝１／４
　　　　　　
ｐ（２ｎ）＝（－１）^ｎ＊［２^（２ｎ－１）－１］＊Ｂ（ｎ）／［２（２ｎ）！］
         
ｐ（２ｎ＋１）＝（－１）^ｎ＊Ｅ（ｎ）／［４（２ｎ）！］

其中：         
　　　　　Ｂ（ｎ）──伯努利数　
　　　　　Ｂ（１）＝１／６，Ｂ（２）＝１／３０，Ｂ（３）＝１／４２，…　　

　　　　　Ｅ（ｎ）──欧拉数
　　　　　Ｅ（１）＝１，　　Ｅ（２）＝５，　　　Ｅ（３）＝６１，　　…

类似的：
当　　　　ａ＝２　，　ｂ＝１ 　时

　　　　　ｐ（２ｎ）＝（－１）^ｎ＊［２^（２ｎ－１）－１］＊Ｂ（ｎ）／（２ｎ）！
　　　　　　　　　　　　　　　　…　…
事实上
　　　　　　
　　　　　ｐ（ｎ）这类序列系数有无穷多种，伯努利数和欧拉数并无特殊性。

前述级数公式

选择函数　　ｙ＝ｓｉｎ（ｘ）

再设　　　ａ＝２　，　ｂ＝１，　ｊ＝１， 则有　ｋ＝２
　　　　
由于　　　ｐ（２ｎ－１）＝０

可得：
　　（ｘ／２）ｃｏｓ（ｘ／２）／ｓｉｎ（ｘ）＝１／２＋∑（－１）^ｎ＊ｐ（２ｎ）＊（ｘ／２）^（２ｎ）

进行三角函数的变化，并令　ｘ＇＝ｘ／２

就有：　　１／ｓｉｎ（ｘ）＝１／ｘ＋２∑（－１）^ｎ＊ｐ（２ｎ）＊ｘ^（２ｎ－１）

　　　　　　　　类似可得到与伯努利数和欧拉数相关的其它级数公式。
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天山草

您有伯努利数和欧拉数是如何计算出来的资料吗？

李三梦

[这个贴子最后由李三梦在 2006/11/12 03:32am 第 3 次编辑]

用递推公式：　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　ａ^（ｔ－１）＋∑ｔ！／（ｔ－ｎ）！＊ｐ（ｎ）＊ａ^（ｔ－ｎ）＝ｔ＊（ａ－ｂ）^（ｔ－１）　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　∑的范围：［ｎ＝１，　（ｔ－１）］　　　　　　ｔ＝（２，３，４，…，ｔ）

取　  ａ＝４　，　ｂ＝１ 　　

用法：ｔ＝２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　ａ＋２！／１！＊ｐ（１）＊ａ＝２（ａ－ｂ）　　　　得到　ｐ（１）　　
　　　　　　　　　　
            
　　　ｔ＝３　
　　　　　　ａ^２＋３！／２！＊ｐ（１）＊ａ^２＋３！／１！＊ｐ（２）＊ａ＝３（ａ－ｂ）^２　　　　
得到　ｐ（２）

　　　　　　　　　　　　　　　　以此类推！

可得到　　　ｐ（ｎ）　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　Ｂ（ｎ）＝（－１）^ｎ＊ｐ（２ｎ）＊２＊（２ｎ）！／［２^（２ｎ－１）－１］　　
　　　　　　　　　　ｐ（２ｎ）　指的是：ｐ（２），ｐ（４），ｐ（６），…　　
          　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　Ｅ（ｎ）＝（－１）^ｎ＊ｐ（２ｎ＋１）＊４＊（２ｎ）！
　　　　　　　　　　ｐ（２ｎ＋１）　指的是：ｐ（３），ｐ（５），ｐ（７），…

　　　　　　Ｂ（ｎ）──伯努利数　
　　　　　　Ｅ（ｎ）──欧拉数

wangyangkee

俞根强闹蠢货或理直气壮或忍气吞声俞氏荣耀似上台阶欣看云烟过眼
刘忠友论单位每战无不胜每踌躇满志刘家虚华如入淡墨喜听空穴来风