【讨论】将 3x+1 问题推广成 qx+1 问题，结果如何？

天山草 · 发表于 2013-9-10 12:20

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/10 00:21pm 第 1 次编辑]

   3x+1 问题即  3x+1 猜想，是未解决的世界难题。本帖当然不是为了试图解决这一问题，而是想：如果把 3 换成别的奇数，变成 qx+1 问题，那结果会如何？
   这个问题，肯定早就有人研究过了，只是我们没能看到前人的研究成果。那么自己探索一下，我想也许并不太困难。有时候，提出问题比较简单，解决起来很难，这个 qx+1 问题，大致也是如此吧。

天山草 · 发表于 2013-9-10 12:36

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/10 00:37pm 第 1 次编辑]

   任意给定一个自然数（正整数），若是偶数，就把它除 2；若是奇数，就把它乘 3 后再加上 1。这算是一轮迭代。经过有限次迭代后，最终总会得到 1 这个结果。
   如果给定的那个数是 1，不必迭代即得到 1，你想迭代也行，1 乘 3 加 1 等于 4，再除以 2，还是得到 1。如果给定的数是 2 的若干次幂，那迭代过程就只有除 2 的运算，不会涉及到乘 3 加 1 运算，最终结果也是等于 1。
  可以认为，1 以及 2 的若干次幂这些数，只不过是问题的“平凡解”，我们关心的是“非平凡解”。
  对于 3x+1 而言，任意给定一个自然数，有限次迭代的结果总能得到 1。但是，把 3 换成别的任何奇数，就不会有这样的幸运了。这时，除了那些不足道的“平凡解”以外，“非平凡解”可能一个也没有，或是只有一部分数能满足“收敛到 1”。

天山草 · 发表于 2013-9-10 12:45

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/10 00:47pm 第 1 次编辑]

写一个程序，对于 q = 3，5，7，9，……，999 这些奇数分别进行试验，给定的自然数取 1000 以内，看看每一个奇数能得到多少“非平凡解”。程序如下：
For[q = 3, q <= 999, q = q + 2,
ss = 0;
For[k = 1, k <= 1000, k++,
 x = k;
 s = 0;
 While[x != 1 && s < 500, s = s + 1;
  If[EvenQ[x], x = x/2, x = q*x + 1]]; If[x == 1, ss = ss + 1]];
If[ss - 10 != 0,
&#160

rint["q=", q, "，  ", "1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = ", ss - 10]]]
运行结果：
q=3，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 990
q=5，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 71
q=7，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 30
q=9，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 31
q=11，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 5
q=13，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 2
q=15，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 18
q=17，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 16
q=21，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 12
q=23，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 4
q=31，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 12
q=33，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 13
q=35，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 4
q=39，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 4
q=43，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 2
q=45，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 4
q=51，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 8
q=63，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 9
q=65，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 10
q=73，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 8
q=85，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 10
q=89，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 6
q=91，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 5
q=93，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 7
q=105，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 5
q=117，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 5
q=127，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 7
q=129，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 7
q=151，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 3
q=195，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 6
q=217，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 3
q=255，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 5
q=257，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 5
q=273，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 7
q=315，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 7
q=341，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 9
q=381，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 5
q=399，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 1
q=455，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 7
q=511，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 3
q=513，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 3
q=585，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 8
q=657，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 2
q=771，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 4
q=819，  1000 以内能收敛到 1 的非平凡解个数 = 8

天山草 · 发表于 2013-9-10 12:53

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/10 00:57pm 第 2 次编辑]

对上述结果说明一下：
（1）对于任何一个 q，1000 以内的平凡解共有 10 个，即 1，2，4，8，16，32，64，128，256，512。所以程序中减掉了 10，不计入平凡解。这样，对于某些奇数，例如 q = 19 时，19x+1 将没有非平凡解。
（2）对于 1000 以内的正整数，若最终能收敛到 1，迭代次数最多不超过 50 次。如果迭代了 500 次还没有“收敛”到 1，那估计就没有什么指望了。所以程序中只算到迭代 500 次，若还是没有收敛到 1，就认为“无解”了。当然，这样做并非很严格，但是“误判”的可能性极小。

天山草 · 发表于 2013-9-10 13:06

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/10 01:10pm 第 2 次编辑]

   对于 19 这个数， 19x+1 在给定的数处于 1000 以内时，除了 1 和 2 的若干次幂以外，给定别的数，都不会收敛到 1，即没有一个“非平凡解”。
   那把给定的数的范围扩大，再扩大 10 倍，在 1 万以内寻找，结果会不会有非平凡解呢？结果是，仍然没有。
   我们不能在无穷大的范围内去寻找。因此就提出了一个猜想：
   除了 1 和 2 的若干次幂以外，给定别的数，19x+1 按规则运算将不会收敛到 1。
   除了 19 以外，还有无穷多别的奇数也是如此，19 只是其中最小的那个。

天山草 · 发表于 2013-9-10 13:17

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/10 01:18pm 第 1 次编辑]

   如果 q=1 （也是奇数），结果将与 q=3 相同：对于任意给定的正整数， x+1 问题与 3x+1 问题一样，都会收敛到 1。
   除了这两个奇数外，别的奇数都没有这份幸运。因此 3x+1 问题至所以有名，与这一点也有关吧？

天山草 · 发表于 2013-9-10 16:58

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/10 04:59pm 第 1 次编辑]

  x+1 问题，谁都会证明。
 3x+1 问题，谁都不会证明。

moranhuishou · 发表于 2013-9-10 17:03

不要急于下没有根据的结论。

技术员 · 发表于 2013-9-10 18:15

为天山草老师顶起！天山草老师的猜想很有价值，且很有难度。

天山草 · 发表于 2013-9-10 19:20

下面引用由moranhuishou在 2013/09/10 05:03pm 发表的内容：
不要急于下没有根据的结论。

嗯，这一回斯露的意见基本对了。看来我的那个猜想并不正确。
但是胡适说得更好：大胆假设，小心求证。
不敢大胆假设，就不会有猜想。既然是猜，就不可能有十分充足的根据。

		自动登录	找回密码
密码			注册

【讨论】将 3x+1 问题推广成 qx+1 问题，结果如何？