7^7^7^…^7 中共有 2019 个 7 ，求此数除以 100 的余数

wintex

餘數問題

luyuanhong

题  7^7^7^…^7 中共有 2019 个 7 ，求此数除以 100 的余数。

解  先看 7^n 除以 4 的余数：

    7^1=7≡3(mod 4)，7^2=49≡1(mod 4)，7^3=343≡3(mod 4)，7^4=2401≡1(mod 4)，……

    可以看出一个规律：

    7 的奇数次方，除以 4 的余数为 3 ；7 的偶数次方，除以 4 的余数为 1 。

    因为 7^7^…^7（2017 个 7）是奇数，所以 7^7^…^7（2018 个 7）除以 4 的余数为 3 。

    再看 7^n 除以 100 的余数：

    7^1≡7(mod 100)，7^2≡49(mod 100)，7^3≡43(mod 100)，7^4≡1(mod 100)，

    7^5≡7(mod 100)，7^6≡49(mod 100)，7^7≡43(mod 100)，7^8≡1(mod 100)，……

    可以看出一个规律：

    当 n 除以 4 的余数为 1,2,3,0 时，7^n 除以 100 的余数依次为 7,49,43,1 。

    上面已经推导出： 7^7^…^7（2018 个 7）除以 4 的余数为 3 。

    所以，7^7^7^…^7（2019 个 7）除以 100 的余数为 43 。

阿卡

餘數為7，7^1餘7 mod100 7^2 餘49 7^3 餘43 7^4餘1，有2個7，43(mod100),有3個7，7（mod100),當有2019個7時，7（mod100)

小fisher

好像不管多少个7，结果都是43

elim

elim

awei

用手机玩，我有一个步骤算错了，换电脑了

王守恩

awei 发表于 2021-2-12 13:40
用手机玩，我有一个步骤算错了，换电脑了

形状不变，7 改 6, 9，解法不变？

awei

王守恩 发表于 2021-2-12 19:41
形状不变，7 改 6, 9，解法不变？

以前没玩过这样的题，6挺有难度，9还得琢磨琢磨，不是特定的数字，不用电脑很费力啊