正三角形 ΔDEF 三顶点分别在 ΔABC 三条边上，BD=CE=AF，求证：ΔABC 也是正三角形

denglongshan

楼主的题目是，如图，已知三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ＝ＡＦ，且三角形ＤＥＦ是正三角形，求证：三角形ＡＢＣ也是正三角形。
换一种思路，是否可以用同一法证明？做∠A'=60度，AF'=AF,Ｂ'Ｄ＝Ｃ'Ｅ＝Ａ'Ｆ,证明三角形A'B'C'是正三角形并且与△ABC重合？


同一原理、同一法
如果一个命题的已知条件与结论中所指的事物都是独一无二的事物那么原命题与逆命题的成立与否是完全一致的,这个原理叫同一原理.
如果一个命题符合同一原理,但证明原命题成立有困难,改正它的逆命题成立,再根据同一原理可知原命题成立,这样的证明方法叫做同一法.
同一法的证题步骤
1,验证命题是否符合同一原理的
2,作出符合命题结论的图形（或表达式）
3,证明所作图形（或表达式）符合已知条件
4,根据图形（或表达式）的唯一性,确定所作图形（或表达式）与已知图形（或表达式）相合
5,肯定原命题的真实性

上述介绍抄自百度作业帮。

ataorj

主题图片下
AE，BF，CD中若有两者相等，易证题目结论正确，所以我们否定三者互不相等时不合题意即可。
假设AE>BF>CD，有:
角AFE>BDF>CED
角A<B<C
角AEF<BFD<CDE

而角AEF+CED=120
BFD+AFE=120
这两个等式间明显有问题，因为:
AEF<BFD
CED<AFE
所以，AE，BF，CD三者只能相等。

ataorj

[接上文]

三角形最大边越大,另两边不变时,最大边的对角也越大,最大边的两个邻角也越小

如图,比较△ABC和A'BC
AC>AB,AC>BC
A'B=AB,A'C>AC,DC=AC

∠A'BC=∠ABC+∠A'BA
∠A'BC>∠ABC

∠ACB=∠A'CB+∠A'CA
∠A'CB<∠ACB

怎么表明∠A'<∠A呢?
令BC'=BC,A'C'=AC[A'D'=CD=CA=A'C']
∠A=∠BA'C'=∠A'+∠CA'C'
可见∠A'<∠A

以上不属于证明,但显然正确
结合主题图片,△AEF,△BFD,△CDE各自中没有比AE,BF,CD更大的边,这时上面特性适合用于论证主题.

BF<AF时,可以知道△AEF,△BFD,△CDE各自中没有比BF,CD,AE更小的边,这时上面特性稍微改变描述仍可能适合用于论证主题[特性很不同,仍应该先尝试使用大边性质].

denglongshan

费尔马1 发表于 2018-4-21 17:42
这个题，您看看，作图如果先作三角形ABC，再作三角形DEF，易如反掌，但是，如果按题设的条件，先作三角形DE ...

先作三角形DEF,再作三角形ABC，很容易，反过来很难

王守恩

记\(FA=1\ \ \  FD=n=1, 2, 3,...\)
\(∠CAB=x\ \ ∠ABC=y\ \ ∠BCA=z\ \ \)
\( ∠AFD=a\ \ ∠BDE=b\ \ ∠CEF=c\)
由方程：\(x+a-b=y+b-c=z+c-a=\pi/3\ \ \ \frac{\sin x}{\sin a}=\frac{\sin y}{\sin b}=\frac{\sin z}{\sin c}=n\)
解得：\(x=y=z=\pi/3\ \ \ a=b=c=\arcsin(1/n)\ \ \ \)

shuxueren

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