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发表于 2022-6-28 18:50
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孪生素数有无穷多
崔 坤
中国山东青岛即墨, 266200, E-mail：cwkzq@126.com
摘要：孪生素数猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上的第8个问题中提出，可以这样描述：
存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数，素数对（p, p + 2）称为孪生素数
关键词：孪生素数，奇素数，恒等函数
中图分类号：O156 文献标识码：A
Cui Kun
266200,Jimo, Qingdao, Shandong, China E-mail: cwkzq@126.com
There are infinitely many twin prime pairs
abstract ：
The twin prime conjecture was formally proposed by Hilbert in the 8th question of the report of the International Congress of Mathematicians in 1900, It can be described like this: there are infinitely many prime numbers p, such that p + 2 is a prime number, and the prime number pair (p, p + 2) is called a twin prime number
key words:Twin primes, odd primes, identity functions
证明：
引理：每个大于等于9的奇数都是3+两个奇素数之和
证明：
根据2013年秘鲁数学家哈罗德·贺欧夫格特已经彻底地证明了的三素数定理：
每个大于等于9的奇数都是三个奇素数之和，每个奇素数都可以重复使用。
它用下列公式表示：Q是每个≥9的奇数，奇素数：q1≥3，q2≥3，q3≥3，
则Q=q1+q2+q3 根据加法交换律结合律，不妨设：q1≥q2≥q3≥3，
则Q-3=q1+q2+q3-3 显见：有且仅有q3=3时，Q-3=q1+q2，
否则，奇数9，11，13都是三素数定理的反例。
即每个大于等于6的偶数都是两个奇素数之和
推论Q=3+q1+q2，即每个大于等于9的奇数都是3+两个奇素数之和。
我们运用数学归纳法做如下证明：
给出首项为9，公差为2的等差数列：Qn=7+2n：{9,11,13,15,17,.....}
Q1= 9
Q2= 11
Q3= 13
Q4= 15
.......
Qn=7+2n=3+q1+q2,(其中奇素数q1≥q2≥3，奇数Qn≥9，n为正整数）
数学归纳法：
第一步：当n=1时 ，Q1=9 时 ，Q1=9=3+q1+q2=3+3+3成立
第二步：假设 ：n=k时，Qk=3+qk1+qk2成立,（奇素数：qk1≥3，qk2≥3）
第三步：当n=k+1时,Q（k+1）=Qk+2=3+qk1+qk2+2,
此时有且仅有2种情况：
A情况:qk1+2不为素数，或者qk2+2不为素数，再或者(qk1+2)与(qk2+2)同时不为素数时，
Qk+2=Q（k+1）=5+qk1+qk2
即每个大于等于11的奇数都是5+两个奇素数之和，
这也就同步证明了每个大于等于6的偶数都是两个奇素数之和
即与“每个大于等于9的奇数都是3+两个奇素数之和”是等价的
即Qk+2=3+qk1+qk2+2=5+qk1+qk2=3+qk3+qk4，（奇素数：qk3≥3，qk4≥3）
B情况:
(1)若qk1+2为qk1的孪生素数P,
则：Qk+2=3+P+qk2,即每个大于等于11的奇数都是3+两个奇素数之和
(2) 若qk2+2为qk2的孪生素数P”,
则：Qk+2=3+P”+qk1，即每个大于等于11的奇数都是3+两个奇素数之和
综上所述，对于任意正整数n命题均成立，
即：每个大于等于9的奇数都是3+两个奇素数之和
结论：每个大于等于9的奇数都是3+两个奇素数之和，Q=3+q1+q2，
（奇素数q1≥q2≥3，奇数Q≥9）
孪生素数有无穷多
证明：
设奇数Q≥9，奇素数q1≥3，奇素数q2≥3，
奇素数q3≥3，奇素数q4≥3，则：
根据引理：当Q≥11时：
Q=3+q1+q2
Q=5+q3+q4，则：q1+q2≡2+q3+q4
q1+q2≡（2+q3）+q4≡q3+(2+q4)
根据解析恒等函数的性质可知：
q1=2+q3,q2=q4
或者：
q2=2+q4,q1=q3
由于Q无穷多，故q1=2+q3,或者q2=2+q4无穷多，故孪生素数有无穷多。
例如：
105=3+3+97+2=3+5+97， 【3+97+2=5+97】， （3，5） 是孪生素数
105=3+11+89+2=3+13+89；【11+89+2=13+89】，（11，13） 是孪生素数
105=3+17+83+2=3+19+83；【17+83+2=19+83】，（17，19） 是孪生素数
105=3+29+71+2=3+31+71；【29+71+2=31+71】，（29，31） 是孪生素数
105=3+41+59+2=3+43+59；【41+59+2=43+59】，（41，43） 是孪生素数
105=3+47+53+2=5+47+53；
结论：孪生素数有无穷多
参考文献：
[1] Major Arcs for Goldbach's Theorem. Arxiv [Reference date 2013-12-18]
[2] Minor arcs for Goldbach's problem．Arxiv [Reference date 2013-12-18]
原创作者：崔坤
2022年6月26日于即墨 |
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