二次曲线的奥秘？

陈九章

见多识广的Ysu2008老师说：

陈九章

陈九章

叶片轮廓线：植物的的“数学天赋”
看上去平淡无奇的植物，它们的进化历史远比人类悠久得多。在长期的进化过程中，植物一直在不断地强化和完善着自己的生存技能，并因此获得了惊人的“数学天赋”。
你不是画家，但只要你具备一定的数学知识，也可以画出优美的植物造型，因为，植物的优美造型总是和特定的“曲线方程”密切相关。
17世纪，法国著名数学家笛卡尔根据自己所研究的一簇花瓣和叶形的曲线特征，列出了“x^3+y^3-3axy=0”的曲线方程式，使人们认识到了植物叶子和花朵的形态的数学规律性。在这个方程里，只要你变换一下参数“a”的值，就可以描绘出许多种叶子或花瓣的外形图。这个曲线方程就是现代数学中有名的“笛卡尔叶线”，数学家还给它取了一个富有诗意的名字——“茉莉花瓣曲线”。
后来又有不少学者对三叶草、酸模、睡莲、槭树、垂柳、常春藤等植物的花和叶进行了研究，并找到了描绘它们的曲线方程：ρ=asinkφ，其中a和k是常数，k的大小确定花瓣的形态，a的大小确定花瓣的长度。在现代数学中，这类能够描绘花叶外部轮廓的曲线，被统称为“玫瑰形线”。
科学家还把植物的螺旋状缠绕茎称为“生命螺旋线”。的确，如菟丝子的藤蔓类植物总是以螺旋线的造型攀附于邻近的植物，以便在树林里争夺阳光，获取营养，来保证自己的生存。在植物王国，人们很容易发现螺旋线这种迷人的数学曲线。
为什么植物的许多造型会包藏着富有个性特征的“曲线方程”？科学家认为，许多植物造型选择“曲线方程”，首先表明植物发展变化的有序特性；其次，植物在造型上选择“曲线方程”模式，就像鸟对翅膀造型的选择一样，它有减少阻力和防积水的内在需求，还有增强抗倒伏的作用。由此可见，“曲线方程”造型模式是植物在长期生存斗争中形成的“智慧结晶”。
植物的造型智慧不但增强了自身的生存能力，还激发了人类越来越多的创造灵感。在流体工程技术方面，人们创造出了具有螺旋线形状的水轮机导管，从而降低了水在导管里运输过程中的能量消耗。还有锄草机上的切刀也是按照螺旋线原理来设计的。至于“茉莉花瓣曲线”和“玫瑰形线”，人们可以任意改变这些曲线方程的参数数值，绘制出无数的美丽叶子和花朵的外形图案，用它来作为美化生活的装饰图。
摘自大科技杂志社年度佳作《植物惊人的“数学天赋”》（2019-12-18）

陈九章

银杏叶，看上去很漂亮。用曼叶线画一下：

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魅力四射、风情万种的椭圆曲星线具有丰富的内涵，
它的多条内切曲线令人眼花缭乱，应接不暇，值得大家深入探究：


椭圆的曲星线 的 法垂曲线+曲星圆，
椭圆的曲星线 的 法中曲线+Fregier椭圆，
椭圆的曲星线 的 矩切法交线+矩切法交圆+外准圆，
椭圆的曲星线 的 菱接法交线+菱接法交椭圆+内准圆，
椭圆的曲星线 的 斜中曲线+Fregier椭圆。

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