[原创]k生素数群的数量公式

白新岭 · 发表于 2024-5-20 08:36

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白新岭 · 发表于 2024-5-20 22:08

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白新岭 · 发表于 2024-5-21 09:27

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白新岭 · 发表于 2024-5-21 22:00

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白新岭 · 发表于 2024-5-22 09:01

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白新岭 · 发表于 2024-5-22 10:58

m 1 2 6 7 11 12 16 17 21 22
1 2 3 7 8 12 13 17 18 22 23
2 3 4 8 9 13 14 18 19 23 24
6 7 8 12 13 17 18 22 23 27 28
7 8 9 13 14 18 19 23 24 28 29
11 12 13 17 18 22 23 27 28 32 33
12 13 14 18 19 23 24 28 29 33 34
16 17 18 22 23 27 28 32 33 37 38
17 18 19 23 24 28 29 33 34 38 39
21 22 23 27 28 32 33 37 38 42 43
22 23 24 28 29 33 34 38 39 43 44
26 27 28 32 33 37 38 42 43 47 48
27 28 29 33 34 38 39 43 44 48 49
31 32 33 37 38 42 43 47 48 52 53
32 33 34 38 39 43 44 48 49 53 54
36 37 38 42 43 47 48 52 53 57 58
37 38 39 43 44 48 49 53 54 58 59
41 42 43 47 48 52 53 57 58 62 63
42 43 44 48 49 53 54 58 59 63 64
显示了前10列数据，后边的未显示，节约空间，x+y=N，x，y只能去除5余1，或余2的正整数。
N tj2
1 0
2 1
3 2
4 1
5 0
6 0
7 2
8 4
9 2
10 0
11 0
12 3
13 6
14 3
15 0
16 0
17 4
18 8
19 4
20 0
21 0
22 5
23 10
24 5
25 0
26 0
27 6
28 12
29 6
30 0
31 0
32 7
33 14
34 7
35 0
36 0
37 8
38 16
39 8
40 0
41 0
42 9
43 18
44 9
45 0
统计结果（即N对应着满足条件的正整数解组数），可以看出，每周（T=5），只有三种不同的剩余类（相对于模5），有解，另外两个剩余类无解，这就是，剩余类个数过半定理所说明的结论。

白新岭 · 发表于 2024-5-22 11:02

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53
44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
只显示前10列数据区域（首行，首列，为参与元素，非结果，不算数据区域）
tj2/2 0 1 2 1 0 0 2 4 2 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 1 0 0 2 4 2 0
2 0 2 4 2 0 0 4 8 4 0
1 0 1 2 1 0 0 2 4 2 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 2 4 2 0 0 4 8 4 0
4 0 4 8 4 0 0 8 16 8 0
2 0 2 4 2 0 0 4 8 4 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 0 3 6 3 0 0 6 12 6 0
6 0 6 12 6 0 0 12 24 12 0
3 0 3 6 3 0 0 6 12 6 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 0 4 8 4 0 0 8 16 8 0
8 0 8 16 8 0 0 16 32 16 0
4 0 4 8 4 0 0 8 16 8 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 0 5 10 5 0 0 10 20 10 0
10 0 10 20 10 0 0 20 40 20 0
5 0 5 10 5 0 0 10 20 10 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 0 6 12 6 0 0 12 24 12 0
12 0 12 24 12 0 0 24 48 24 0
6 0 6 12 6 0 0 12 24 12 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7 0 7 14 7 0 0 14 28 14 0
14 0 14 28 14 0 0 28 56 28 0
7 0 7 14 7 0 0 14 28 14 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8 0 8 16 8 0 0 16 32 16 0
16 0 16 32 16 0 0 32 64 32 0
8 0 8 16 8 0 0 16 32 16 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 0 9 18 9 0 0 18 36 18 0
18 0 18 36 18 0 0 36 72 36 0
9 0 9 18 9 0 0 18 36 18 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
统计区域（显示数据与上段解释相同），下面是统计结果：
N tj4
1 0
2 0
3 0
4 1
5 4
6 6
7 4
8 1
9 4
10 16
11 24
12 16
13 4
14 10
15 40
16 60
17 40
18 10
19 20
20 80
21 120
22 80
23 20
24 35
25 140
26 210
27 140
28 35
29 56
30 224
31 336
32 224
33 56
34 84
35 336
36 504
37 336
38 84
39 120
40 480
41 720
42 480
43 120
44 165
45 660
四元时，已经能合成所有剩余类了。

白新岭 · 发表于 2024-5-22 11:06

元素加法运算合成结果与上楼一致，不在显示，直接显示：统计区域的运算数据，及最终统计结果
tj2/4 0 0 0 1 4 6 4 1 4 16
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 4 6 4 1 4 16
2 0 0 0 2 8 12 8 2 8 32
1 0 0 0 1 4 6 4 1 4 16
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 2 8 12 8 2 8 32
4 0 0 0 4 16 24 16 4 16 64
2 0 0 0 2 8 12 8 2 8 32
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 3 12 18 12 3 12 48
6 0 0 0 6 24 36 24 6 24 96
3 0 0 0 3 12 18 12 3 12 48
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 0 0 0 4 16 24 16 4 16 64
8 0 0 0 8 32 48 32 8 32 128
4 0 0 0 4 16 24 16 4 16 64
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 0 0 0 5 20 30 20 5 20 80
10 0 0 0 10 40 60 40 10 40 160
5 0 0 0 5 20 30 20 5 20 80
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 0 0 0 6 24 36 24 6 24 96
12 0 0 0 12 48 72 48 12 48 192
6 0 0 0 6 24 36 24 6 24 96
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7 0 0 0 7 28 42 28 7 28 112
14 0 0 0 14 56 84 56 14 56 224
7 0 0 0 7 28 42 28 7 28 112
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8 0 0 0 8 32 48 32 8 32 128
16 0 0 0 16 64 96 64 16 64 256
8 0 0 0 8 32 48 32 8 32 128
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 0 0 0 9 36 54 36 9 36 144
18 0 0 0 18 72 108 72 18 72 288
9 0 0 0 9 36 54 36 9 36 144
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

N tj6
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 1
7 6
8 15
9 20
10 15
11 12
12 37
13 90
14 120
15 90
16 57
17 132
18 315
19 420
20 315
21 182
22 357
23 840
24 1120
25 840
26 462
27 812
28 1890
29 2520
30 1890
31 1008
32 1638
33 3780
34 5040
35 3780
36 1974
37 3024
38 6930
39 9240
40 6930
41 3564
42 5214
43 11880
44 15840
45 11880
运用待定系数法，公式获得结果（6周以外，9周之内，及N=31，到N=45，之间的），与实际统计完全一致

白新岭 · 发表于 2024-5-22 11:12

本帖最后由白新岭于 2024-5-22 11:15 编辑

带入前6周统计结果，运用待定系数法，获得的公式系数如下：
f 120e 120d 120c 120b 120a
0 120 120 120 120 120
0 18 -5 -25 5 7
0 -32 -30 25 30 7
0 -90 -75 75 75 15
0 -120 -100 100 100 20
0 -90 -75 75 75 15
0 -314 -285 250 285 64
最起码，在不做任何，计算前，能确定最高次项系数a的和值（\(∑a_i=2^6\)）,因为只有2个剩余类参与运算，所以，底数是2，又因为6个未知数（或称谓：变量），所以是6次方。

白新岭 · 发表于 2024-5-22 15:45

2024年5月22日14:59周三农历四月十五
我们利用二项式展开式定理来分析合成结果，a代表模5余1的正整数，b代表模5余2的正整数。
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\),形成三种不同的组合，它们的乘法形式，与其加法形式同构，
是一一对应的关系，所以，二维加法组合，与其结果，完全对称：a^2对应(2a)，2ab对应着2*(a+b)
b^2对应着(2b)，小括号的模5运算结果，(2a)是模5余2的正整数；（a+b）是模5余3的正整数；
(2b)是模5余4的正整数.所以，二元二维运算，只能合成模5的3个剩余类。
随着维次的增加，合成数，剩余类个数增加，与二项式展开式的，同类项合并结果一致。
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\),有四种不同组合，所以，能合成4个剩余类（模5的）。
\((a+b)^=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\),有五种不同组合，所以，能合成5个剩余类（模5的）。
也就是说，如果，仅仅用5的2个剩余类，进行加法合成，未知数的个数（变量的个数）只有达到
4个以上，才能合成模5的所有剩余类。从这里，我们可以看出，单一的剩余类是无法多样化的。
它就好像乘法运算中的单位1一样，只能随着维数的增大，向不同的剩余类变来变去，但是，
任何一步，都是获得一个剩余类（而得不到2个剩余类以上），直到永远。
例如，就拿模5余1的正整数来说，两个这样的数相加，是得到模5余2的数；三个相加是
得到模5余3的数；四个数相加是得到模5余4的数；五个数相加是得到模5余0的数；六个数
相加是得到模5余1的数；七个数相加是得到模5余2的数；……周而复始，任何m元相加只能
得到模5的一个剩余类，永远得不到2个以上的剩余类，所以要想“多样化”，获得不同的
剩余类，就需要自变量（未知数）至少能取两种以上的剩余类才行。
如果用5的三个剩余类，则在2维空间中就能全部合成了：\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
比如，a是模5余1的正整数，b是模5余2的正整数，c是模5余3的正整数（其实它们可以是模5余中，
5个剩余类的任意组合,有\(C_5^3=20种\),a^2对应模5余2的数,b^2对应模5余4的数,c^2对应模5余1的数
(ab)对应模5余3的数,(bc)对应模5余0的数,(ca)对应模5余4的数,所以，合成模5余4的数是最多的。

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