数论小猜想

蔡家雄

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

则 3, 5, 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的三个原根。

蔡家雄

求出任意素数P 的所有 本原根 的计算方法

设 g 是素数P 的一个原根，

当 1 <= 2n -1 < P 且 2n -1 与 P -1 互素 时，

设 g^(2n -1)  ≡  r（mod  P) , 则 r 是 P 的原根。

s = 0;
For[g = PrimitiveRoot[P]; P = 29; n = 1, n <= (P - 1)/2, n++,
If[CoprimeQ[2 n - 1, P - 1], s = s + 1;
Print[s, "-----", g, "---", 2 n - 1, "-----", P, "-----",
PowerMod[g, 2 n - 1, P], "-----", CoprimeQ[2 n - 1, P - 1]]]]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-20 13:27
若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

则 3, 5, 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的三个原根。

n=40时，3不是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根

蔡家雄

若 n^2+(n+1)^2 是素数，

则 7 是素数 n^2+(n+1)^2 的原根。

简记为  \(g(n^2+(n+1)^2)=7\) .

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-20 20:24
若 n^2+(n+1)^2 是素数，

则 7 是素数 n^2+(n+1)^2 的原根。

若 n^2+(n+1)^2 是素数，

则 7 是素数 n^2+(n+1)^2 的原根。
----------------------------------------------------

{{12,8},{17,12},{39,8},{47,8},{162,10},{222,10},{407,8},{927,8},{1067,14},{1212,8},{1317,10},{1517,10},{1802,10},{1832,8},{2112,8},{2187,8},{2507,8},{2612,8},{2682,10},{2712,8},{2882,10},{3237,11},{3347,8},{3392,8},{3522,10},{4182,11},{4772,8},{4952,11},{5027,8},{5967,8},{5997,10},{6387,8},{6662,10},{6917,10},{7127,8},{7617,10},{7682,10},{7892,8},{8202,10},{8237,10},{8342,10},{8397,12},{8492,8},{8622,10},{8762,10},{8802,10},{9087,8},{9642,12},{9992,12},{10442,10},{11397,10},{11457,10},{12057,10},{12762,10},{12827,8},{12857,10},{12962,10},{13077,10},{13182,12},{13697,10},{14057,12},{14187,8},{14862,10},{15062,10},{15447,8},{15522,10},{15587,8},{15872,8},{15942,11},{16217,10},{16367,8},{16532,8},{16542,10},{17267,8},{17897,10},{18152,8},{18497,10},{19337,10},{19482,10},{19517,10}}

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

则 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。

简记为  \(g(3^{2n}+2^{2n+1})=10\) .

有 2n=2, 4, 6, 12, 22, 32, 36, 46, 80, 154, 236, 250, 992, ......

蔡家雄

素数 29 的原根 2  3  8 10 11 14 15 18 19 21 26 27

素数的原根：不可能是平方数，，但有可能是立方数，，，

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-21 13:16
设 2^p -1 >=7,

问 3 是素数 2^p -1 的原根吗？

{{3, 3}, {5, 3}, {7, 3}, {13, 17}, {17, 3}, {19, 3}, {31, 7}, {61,
  37}, {89, 3}, {107, 3}, {127, 43}}

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-21 12:50
由 2^2 -1=3, 故 3 是素数 4^k+1=5, 17, 257, 65537 的原根，

由 2^3 -1=7, 故 7 是素数 4^k+1=5, 17, 2 ...

31 是素数 4^k+1=5, 17, 257, 65537 的原根
----------------------
33 是素数257 的原根，31不是

蔡家雄

若 4n+1 和 8n+3 都是素数，

则 2 和 8n 是素数 8n+3 的原根。