设 a,b 是正整数，求证：2a^2+2ab+b^2 与 a^2+2ab+2b^2 中至多只有一个完全平方数

ccmmjj

xiaoshuchong 发表于 2023-5-25 10:25
您真是高看我了，椭圆曲线这个领域太难，我就只会点皮毛。高深的数学表达真不会，我熟练的只是诸如python ...

不客气，能够经常使用这些工具的已经是很专业的人士了。我在网上找了几篇文章，觉得以下这篇算得上是这方面很好的科普文章了：
“https://baijiahao.baidu.com/s?id ... r=spider&for=pc”

王守恩

ysr 发表于 2023-5-25 06:41
s=4000  wu jie

3000~4000无解，代码如下：

算式(1)。FindInstance[{a^2+(a+b)^2==n^2,b^2+(a+b)^2==m^2},{n,m,a,b},PositiveIntegers, 1]

算式(2)。FindInstance[{a^2+(a+b)^2==n^2,b^2+(a+b)^2==m^2},{n,m,a,b},Integers, 100]

算式(1)没有1个解。算式(2)有100个解。

王守恩

\(2a^2+2ab+b^2=n^2,  a^2+2ab+2b^2=m^2\)

\(除了|a|=|b|=|n|=|m|,还有其他整数解吗？\)

1. Table[FindInstance[{2a^2+2ab+b^2==n^2,a^2+2ab+2b^2==m^2,n !=m},
   
2. {n,m,a}, Integers, 3],{b, 1, 9}]

复制代码

警告：FindInstance 只找到 2 个实例，但无法证明第 3 个实例不存在。

ysr

证明：
      设x=2a^2+2ab+b^2，y=a^2+2ab+2b^2.
则有：
x^2=(2a^2+2ab+b^2)^2=4a^4+8a^3b+8a^2b^2+4ab^3+b^4.
y^2=(a^2+2ab+2b^2)^2=a^4+4a^3b+8a^2b^2+8ab^3+4b^4.
x^2-y^2=3a^4+4a^3b-4ab^3-3b^4=(a^2-b^2)(3(a^2+b^2)+4ab).
这个多项式不是恒为平方数。
x^2+y^2=5a^4+12a^3b+16a^2b^2+12ab^3+5b^4.
这个多项式也不是恒为平方数。
所以，x，y和√(x^2-y^2)可以构成直角三角形，x，y和√(x^2+y^2)可以构成直角三角形。
根据勾股数公式定理和费马大定理的推论，直角三角形的边长，两两不能同时为平方数，
所以，x，y不能同时是平方数，原命题得证。

证明仅供参考，这种初等方法尚待研究。

llshs好石

此贴与 垂美四边形的命题等价，太难了