设 a(1)>0, a(n+1)=log(1+a(n)), 求 lim n(na(n)-2)/log(n)

elim

jzkyllcjl 发表于 2018-4-2 01:53
你现在不会使用施篤兹（O.Stolz）定理中的公式（参看《菲赫金哥尔茨微积分学教程》计算 “na(n)-2 的级数 ...

Stolz 定理告诉你两个序列的极限什么时候相等，没有告诉你这两个序列各自减去其极限后所得的序列是等价无穷小。这么说老头对《菲赫金哥尔茨微积分学教程》误读了56年了。

我正是使用了 Stolz 定理证明了 n(na(n)-2)/log(n) 趋于 2/3. 故 na(n)-2 与 log(n)/n 是同阶无穷小，进而 知道 na(n)-2 与 a(n) 不是同阶无穷小。

jzkyllcjl

由 lim n→∞ na(n)= lim n→∞[2+ 1/3 •a(n-1)+O (a^2(n-1)]=2      ，两端减去 lim n→∞ 2， 根据极限运算法则得到 lim n→∞ na(n)-2= lim n→∞[2-2+ 1/3 •a(n-1)+O (a^2(n-1)]=lim n→∞ 1/3 •a(n-1)  =0，所以 na(n)-2 是无穷小量，再计算   na(n)-2与1/3 •a(n-1)比的极限，可知 na(n)-2与1/3 •a(n-1是等价无穷小量。 你可能算不出这个比，是不是？  

elim

jzkyllcjl 发表于 2018-4-2 16:10
由 lim n→∞ na(n)= lim n→∞[2+ 1/3 •a(n-1)+O (a^2(n-1)]=2      ，两端减去 lim n→∞ 2， 根据 ...

这个比在590多贴前的主贴就搞定了，努力了半年的 jzkyllcjl 看不懂罢了。

既然畜生不如的 jzkyllcjl 还没有展示他计算这个比的畜生不如性，咱就拭目以待，看看这次他又会怎样娱乐论坛。

jzkyllcjl

第一，由 lim n→∞ na(n)= lim n→∞[2+ 1/3 •a(n-1)+O (a^2(n-1)]=2      ，两端减去 lim n→∞ 2， 根据极限运算法则得到 lim n→∞ na(n)-2= lim n→∞[2-2+ 1/3 •a(n-1)+O (a^2(n-1)]=lim n→∞ 1/3 •a(n-1)  =0，所以 na(n)-2 是无穷小量，
再计算   na(n)-2与1/3 •a(n-1)比的极限，得到 lim n→∞（ na(n)-2）/ 1/3 •a(n-1)= lim n→∞ （1/3 •a(n-1)+O(a^2（n-1）)/ 1/3 •a(n-1)=1 ，可知 na(n)-2与1/3 •a(n-1)是等价无穷小量。 你不会可能算不出这个比！  
第二，由于， na(n)-2与1/3 •a(n-1)是等价无穷小量。，以及乘积极限研究中可以使用等价无穷小量可以替换地方法（等价无穷小量替换的说法，不同书中的说法不同，但根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》一卷一分册132页最后一行“用于确定形如0/0的不定式”的说法，把乘n看作除以1/n 时，这里符合0/0的说法），于是可以得出数列A（n）的表达式（2）的分子n（na(n)-2）的极限是2/3，不是无穷大。因此，elim将数列A（n）的表达式（2）的分子n（na(n)-2）的极限看作无穷大，使用O.Stolz公式得到A（n）的极限是2/3的做法是错误的。

elim

老头不会算极限有 56年了吧？

jzkyllcjl

第一，我的计算是：首先计算 lim n→∞ na(n)-2时， 对na(n)把n作为分子X(n)，1/a(n)作为分母Y(n)，应用施笃兹公式，可以得到求极限时的 na(n)-2的下述的施笃兹公式意义下等价算式:
a(n)a(n-1)/【a(n-1)-a（n）-2=(1-1/2a(n-1)+1/3a^2(n-1)-………）/(1/2-1/3a(n-1)-2=2+1/3a(n-1)+O(a^2(n-1))-2=1/3a(n-1)+O(a^2(n-1)),两端取极限得到 ： lim n→∞ na(n)-2= lim n→∞[ 1/3 •a(n-1)+O (a^2(n-1)]=lim n→∞ 1/3 •a(n-1)  =0，所以 na(n)-2与1/3 •a(n-1)都是无穷小量； 再计算   na(n)-2与1/3 •a(n-1)比的极限，得到 lim n→∞（ na(n)-2）/ 1/3 •a(n-1)= lim n→∞ （1/3 •a(n-1)+O(a^2（n-1）)/ 1/3 •a(n-1)=1 ，可知 na(n)-2与1/3 •a(n-1)是等价无穷小量。
第二，至于你说的等式  na(n)-2=（(（n-1）a(n-1)-2)(1-1/2a(n-1))+O（a^2（n-1））），你没有给出 计算依据的法则，也没有给出计算过程。 希望 给出来！

elim

你的【再计算   na(n)-2与1/3 •a(n-1)比的极限，得到 lim n→∞（ na(n)-2）/ 1/3 •a(n-1)= lim n→∞ （1/3 •a(n-1)+O(a^2（n-1）)/ 1/3 •a(n-1)=1 】怎么不算给大家看看？
你jzkyllcjl 56年浑水摸鱼，偷梁换柱的绝技，亮出来大家观赏一下不行吗？

jzkyllcjl

第一，对于你提出的：“再计算   na(n)-2与1/3 •a(n-1)比的极限，得到 lim n→∞（ na(n)-2）/ 1/3 •a(n-1)= lim n→∞ （1/3 •a(n-1)+O(a^2（n-1）)/ 1/3 •a(n-1)=1 】怎么不算给大家看看？” 我的回答是：分子第一项与分母相同，因此除得的结果是1，分子的第二项是分母的高阶无穷小 ，其比的 极限是0，两者合起来这个比就是1。
第二，对于你的第二个问题，我是说过 na(n)-2可能恒小于0，但我现在被认为：这是一个需要计算na(n)导数才能确定的问题， 最重要的是 即使 na(n)-2可能恒小于0， na(n)-2与 1/3 •a(n-1)的比是0/0型不定式的极限，这个极限还是能够等于1的。不能因此否定上述计算。

elim

jzkyllcjl 发表于 2018-4-3 17:59
第一，对于你提出的：“再计算   na(n)-2与1/3 •a(n-1)比的极限，得到 lim n→∞（ na(n)-2）/ 1/3 & ...

jzkyllcjl

elim 发表于 2018-4-4 01:39

581楼的论述 “第一，我的计算是：首先计算 lim n→∞ na(n)-2时， 对na(n)把n作为分子X(n)，1/a(n)作为分母Y(n)，应用施笃兹公式，可以得到求极限时的 na(n)-2的下述的施笃兹公式意义下等价算式:
a(n)a(n-1)/【a(n-1)-a（n）-2=(1-1/2a(n-1)+1/3a^2(n-1)-………）/(1/2-1/3a(n-1)-2=2+1/3a(n-1)+O(a^2(n-1))-2=1/3a(n-1)+O(a^2(n-1)),两端取极限得到 ： lim n→∞ na(n)-2= lim n→∞[ 1/3 •a(n-1)+O (a^2(n-1)]=lim n→∞ 1/3 •a(n-1)  =0，所以 na(n)-2与1/3 •a(n-1)都是无穷小量”就是根据。你怎么不看呢？