数论小猜想

蔡家雄

求 \(x^2 - (4k+1)*y^2 = ±1 和 x^2 - (8k+2)*y^2 = ±1\)

存在通项公式的条件：

\(4k+1 或 8k+2 的(奇数)素因子均具有 4d+1\) 的形式。

蔡家雄

这是判断定理吗

设 d 无 4k+3 的素因子，

且 d 有 8k+1 的素因子，

则 佩尔方程 \(x^2 - (5d)*y^2= -1\) 无正整数解。

例 佩尔方程 \(x^2 - (5*17)*y^2= -1\) 无正整数解。

蔡家雄

佩尔方程有解定理

设 d 无 4k+3 的素因子，

且 d 仅有 2 和 8k+5 的素因子，

则 \(x^2 - d*y^2= -1\) 有正整数解。


佩尔方程无解定理

设 d 无 4k+3 的素因子，

且 d 有 2 和 8k+1 的素因子，

则 \(x^2 - d*y^2= -1\) 无正整数解。

cz1

方程 a^3+b^3=c^10 无解，

Treenewbee

cz1 发表于 2023-3-12 11:21
方程 a^3+b^3=c^10 无解，

\[8^3+8^3=2^{10}\]
\[729^3+1458^3=9^{10}\]
\[8192^3+8192^3=16^{10}\]

cz1

方程 a^4+b^4=c^3 无解，

蔡家雄

若 5^(2k) -2 是素数，则 10 是素数 5^(2k) -2 的原根。

得 2k=2, 14, 26, 50, 126, 144, 260, 624, 1424, ......


若 5^(2k)+4 是素数，则 10 是素数 5^(2k)+4 的原根。

得 2k = 2，6，10，102，494，794，1326，5242, 5446, ......

蔡家雄

求 \(x^2 - (n^2 -2)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=n^2 -1 , y=n\) .

求 \(x^2 - (n^2+2)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=n^2+1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n)^2 -4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*n^2 -1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*n^2+1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2 -4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*(2n*(n+1) -1) , y=2n*(n+1)\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*((2n+1)^2+4)*(n^2+(n+1)^2) -1\) ,

     \(y=(4n+2)*(n^2+(n+1)^2)*(n^2+(n+1)^2+1)\) .

蔡家雄

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .

蔡家雄

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .

今天是国际数学日3月14日，推广此问题

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4^k)*y^2= -1\) 的最小解，