数论小猜想

王守恩

蔡家雄 发表于 2023-2-27 21:59
定义：形式 m*(m+1)/2 的数，叫：三角数。

设 \(w\) 为三角数，

Table[FindInstance[{3^n==(x(x+1)+y(y+1)+4)/2, x>y>0},{y,x},Integers,1],{n,1,25}]

{{}, {{y -> 1, x -> 3}}, {{y -> 4, x -> 5}}, {{y -> 1,  x -> 12}}, {{y -> 4, x -> 21}},
{{y -> 21, x -> 31}}, {{y -> 14, x -> 64}}, {{y -> 21, x -> 112}}, {}, {}, {},
{{y -> 282,  x -> 991}}, {{y -> 714, x -> 1636}}, {{y -> 2026, x -> 2336}},
{{y -> 264, x -> 5350}}, {{y -> 1261, x -> 9192}}, {{y -> 5560, x -> 15078}},
{}, {{y -> 11199, x -> 46894}}, {}, {{y -> 33168, x -> 140785}}, {}, {}, {},
{{y -> 46695, x -> 1300921}}}

蔡家雄

定义：形式 m*(m+1)/2 的数，叫：三角数。

求：一个三角数表为另两个不同的三角数之和的通解公式。

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-2 07:50
定义：形式 m*(m+1)/2 的数，叫：三角数。

求：一个三角数表为另两个不同的三角数之和的通解公式。

A012132                Numbers z such that x*(x+1) + y*(y+1) = z*(z+1) is solvable in positive integers x,y.

蔡家雄

Treenewbee 发表于 2023-3-2 09:31
A012132                Numbers z such that x*(x+1) + y*(y+1) = z*(z+1) is solvable in positive integers x,y.

设 p，q，r 均为素数，且 p<q<r，求解：

p*q*r - 1 能分别被 p+1, q+1, r+1 整除。

Treenewbee 能否求出 5<=p<=199 的解 ？？?

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-2 16:43
设 p，q，r 均为素数，且 p

r<5000:

[5, 7, 11]
[7, 17, 23]
[11, 13, 47]
[11, 19, 29]
[11, 29, 79]
[11, 89, 139]
[11, 139, 509]
[13, 23, 59]
[13, 71, 83]
[17, 19, 107]
[17, 31, 47]
[17, 191, 463]
[19, 53, 503]
[19, 59, 101]
[19, 71, 269]
[23, 43, 197]
[23, 241, 263]
[23, 439, 593]
[23, 857, 1231]
[29, 139, 251]
[29, 1399, 1931]
[31, 449, 479]
[37, 227, 419]
[37, 647, 683]
[41, 43, 587]
[41, 71, 223]
[41, 71, 727]
[41, 199, 2039]
[41, 239, 1399]
[43, 167, 797]
[43, 3191, 4157]
[47, 67, 149]
[47, 137, 919]
[53, 103, 1091]
[59, 173, 463]
[59, 811, 4349]
[71, 97, 167]
[71, 349, 419]
[73, 2591, 2663]
[79, 269, 1931]
[79, 311, 2729]
[79, 3041, 3119]
[83, 293, 379]
[89, 103, 4583]
[89, 263, 3343]
[89, 307, 1187]
[97, 127, 223]
[101, 103, 3467]
[101, 137, 373]
[101, 1699, 3299]
[103, 443, 1013]
[109, 131, 419]
[109, 1979, 3851]
[139, 491, 2729]
[151, 349, 1699]
[181, 701, 2393]
[199, 241, 439]

Treenewbee

r<1000:

[5, 7, 11]
[7, 17, 23]
[11, 13, 47]
[11, 19, 29]
[11, 29, 79]
[11, 89, 139]
[11, 139, 509]
[13, 23, 59]
[13, 71, 83]
[17, 19, 107]
[17, 31, 47]
[17, 191, 463]
[19, 53, 503]
[19, 59, 101]
[19, 71, 269]
[23, 43, 197]
[23, 241, 263]
[23, 439, 593]
[29, 139, 251]
[31, 449, 479]
[37, 227, 419]
[37, 647, 683]
[41, 43, 587]
[41, 71, 223]
[41, 71, 727]
[43, 167, 797]
[47, 67, 149]
[47, 137, 919]
[59, 173, 463]
[71, 97, 167]
[71, 349, 419]
[83, 293, 379]
[97, 127, 223]
[101, 137, 373]
[109, 131, 419]
[199, 241, 439]

蔡家雄

设 61，q，r 均为素数，且 61<q<r，

求解：61*q*r - 1 能分别被 61+1, q+1, r+1 整除。

蔡家雄

如下两问题的相同点

蔡氏完全循环节问题

设 n>=3,

设 P 和 2^n*P+1 都是素数，

且 10^(2^n) -1 不能被 2^n*p+1 整除，

若 2^n*P+1 ≡ 17或33（mod  40），

则 10 是 2^n*P+1 的原根，

则 1/(2^n*p+1) 具有最大循环节长d= 2^n*p .

蔡氏完全循环节问题

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

则 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。


此时，素数 2^n*P+1 = 40k+17=a^2+b^2 或 40k+33=a^2+b^2 ，

以及，素数 3^(2n)+2^(2n+1)= 40k+17=a^2+b^2 或 40k+33=a^2+b^2 .

Treenewbee

素数  1356446145697  的原根 10

素数 1498096661930372466988988205389128987297  的原根13

蔡家雄

Treenewbee 发表于 2023-3-3 22:06
素数  1356446145697  的原根 10

素数 1498096661930372466988988205389128987297  的原根13

由 10 是素数 17=2*3^2 -1 的原根，则 10 是素数 2*17^(4d+2) -1 的原根。

请测试：4d+2=30, 74, 122, ......