数论小猜想

Treenewbee

设 k 为正整数，

若 30k+1 和 65536*(30k+1)+1 都是素数，

则 10 是素数 65536*(30k+1)+1 的原根。

10^8  内的满足条件的1998924个素数没有反例出现，但不能说明这个猜想就是正确的

Treenewbee

设 k 为正整数，

若 30k+7 和 65536*(30k+7)+1 都是素数，

则 10 是素数 65536*(30k+7)+1 的原根。

10^8 内的满足条件的1999419个素数没有反例出现，但依然不能说明这个猜想就是正确的

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-2-25 17:36
判断：10 是素数  13313  的原根，

判断：10 是素数  19457  的原根，

10 是素数  13313  的原根，

10 是素数  19457  的原根，

蔡家雄

Treenewbee 发表于 2023-2-25 20:24
10 是素数  13313  的原根，

10 是素数  19457  的原根，

设 k 为正整数，

若 30k+13 和 1024*(30k+13)+1 都是素数，

则 10 是素数 1024*(30k+13)+1 的原根。

设 k 为正整数，

若 30k+19 和 1024*(30k+19)+1 都是素数，

则 10 是素数 1024*(30k+19)+1 的原根。

我可以断言：无一反例，，，，，，，，，，

蔡家雄

Treenewbee 发表于 2023-2-25 20:24
10 是素数  13313  的原根，

10 是素数  19457  的原根，

如果 k=0, 可能有一个例外的，

就看 2^(4t+3)*17+1 或 2^(4t+3)*29+1 是素数，例外，

就看 2^(4t+4)*1+1 或 2^(4t+4)*7+1 是素数，例外，

谢谢 Treenewbee, (2^3 -1)*16^m+1=7*2^(4m)+1 为何有例外，原因正在此，

就看 2^(4t+5)*11+1 或 2^(4t+5)*23+1 是素数，例外，

就看 2^(4t+6)*13+1 或 2^(4t+6)*19+1 是素数，例外，

改为 k>=1, 就可以排除这个例外的，

就好比，解：\(x^a+y^b=z^c\) ,

抓住：\(1+2^3=3^2\) 这个本质，就是：解题的关键！

蔡家雄

梅森素数与蔡氏完全循环节问题

设 素数 p >=7，

且 (2^p -1)=30k+1 或 (2^p -1) =30k+7 也是素数，

若 (2^p -1)*16^m+1=(2^p -1)*2^(4m)+1 是素数，

则 10 是素数 (2^p -1)*16^m+1 的原根，

则 1/((2^p -1)*16^m+1) 具有最大循环节长d= (2^p -1)*16^m .

蔡家雄

生成完全循环节问题

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

则 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。

10 是素数 3^2+2^3=17 的原根，
10 是素数 3^4+2^5=113 的原根，
10 是素数 3^6+2^7=857 的原根，
10 是素数 3^12+2^13=539633 的原根，
10 是素数 3^22+2^23=31389448217 的原根，
10 是素数 3^32+2^33=1853028778786433 的原根，
10 是素数 3^36+2^37=150094772735952593 的原根，
10 是素数 3^46+2^47=8862938260389989451257 的原根，
10 是素数 3^80+2^81=147808829414348341167722439464732709953 的原根，
10 是素数 3^154+2^155=29969067287845284806900763424259354345695037325432711901413781193689500137 的原根，
10 是素数 3^236+2^237=39867234790105605031052158475473603885214702979674478224207279045242447503005351752119734009677347787327998900593 的原根，
10 是素数 3^250+2^251= 190683748116796615589766511371277507701260429967651126103174761897479526555470283571068048447508517209471538025816027497 的原根，
10 是素数 3^992+2^993=201504468751837621839727977404685926835150439376946832443975059933977838339689818555216935505351023009283611903196552713908086356058621995407002396777618301177811343575418503951721787383304872793005232962627245632571105557936833267194815304366778547765493764740044293673929368039251196446446723938278591809721982615857996114286344721172111746288859733499249290109426007919969472996555103682274449696455944323255567670689270574629521811105681761209036785000603422679143272833 的原根，

蔡家雄

素数倒数最大循环节长定理

设 k 为非负整数，

若 30k+7 和 120k+29 都是素数，

则 1/(120k+29) 具有最大循环节长d= 120k+28.


蔡氏完全循环节问题

设 n>=3,

设 P 和 2^n*P+1 都是素数，

且 10^(2^n) -1 不能被 2^n*p+1 整除，

若 2^n*P+1 ≡ 17或33（mod  40），

则 10 是 2^n*P+1 的原根，

则 1/(2^n*p+1) 具有最大循环节长d= 2^n*p .


设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 30k+17 和 2^(4t+3)*(30k+17)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+17)+1 的原根。

若 30k+29 和 2^(4t+3)*(30k+29)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+29)+1 的原根。


设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 30k+1 和 2^(4t+4)*(30k+1)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+1)+1 的原根。

若 30k+7 和 2^(4t+4)*(30k+7)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+7)+1 的原根。


设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 30k+11 和 2^(4t+5)*(30k+11)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+11)+1 的原根。

若 30k+23 和 2^(4t+5)*(30k+23)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+23)+1 的原根。


设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 30k+13 和 2^(4t+6)*(30k+13)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+13)+1 的原根。

若 30k+19 和 2^(4t+6)*(30k+19)+1 都是素数，

则 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+19)+1 的原根。

蔡家雄

设 d 为非负整数，

若 3^(4d+2) -2 是素数，则 10 是素数 3^(4d+2) -2 的原根。

4d+2=2, 6, 22, 90, 102, 786, ......


若 5^(2d+2) -2 是素数，则 10 是素数 5^(2d+2) -2 的原根。

2d+2=2, 14, 26, 50, 126, 144, 260, 624, 1424.


若 7^(4d+2) -2 是素数，则 10 是素数 7^(4d+2) -2 的原根。

4d+2=2, 98, 238, 302, ......

蔡家雄

Treenewbee 发表于 2023-2-22 11:42
6000内似乎就这几个：{3, 6, 18, 45, 126, 241, 355, 691}，均满足条件

请验证：n 在 3000 内的情况，

生成完全循环节问题

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

则 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。