设 a,b 是正整数，求证：2a^2+2ab+b^2 与 a^2+2ab+2b^2 中至多只有一个完全平方数

cgl_74

ysr 发表于 2023-5-24 18:47
s=3268  t=6199   m=42481108
s=3362  t=5279   m=40228796
s=3363  t=8119   m=54608394

感谢ysr的工作，让计算机发挥了人力难以完成的任务！真正发挥了计算机的作用！
选取一组值为例：
a=12768887
b=27747777
m=42481108
n=49107245
这就是一组解！

cgl_74

ysr 发表于 2023-5-24 18:47
s=3268  t=6199   m=42481108
s=3362  t=5279   m=40228796
s=3363  t=8119   m=54608394

UK702说得对，这组值在精度上出了一些问题，请看看如何控制？或者用尾数检验过滤一下，对于开方后的值检查一下尾数，

xiaoshuchong

cgl_74 发表于 2023-5-24 17:13
没看懂你的证明，不熟悉相关理论。我问下结论：你是说你已经证明了不可能同时使2个式子同时为完全平方数 ...

是这样的。这个问题可以用椭圆曲线解决

ysr

ysr 发表于 2023-5-24 10:47
s=3268  t=6199   m=42481108
s=3362  t=5279   m=40228796
s=3363  t=8119   m=54608394

感谢朋友提醒！就是数据大了，计算精度出问题了，改用大数计算程序就可以搞准确了。
我再试试吧！

ysr

s=4000  wu jie

3000~4000无解，代码如下：
Private Sub Command1_Click()
Dim a, b, c
a = Val(Text1)
s = 3000
Do While Val(s) < Val(a)
t = s + 1
Do While Val(t) < Val(1 + 2 ^ 0.5) * s

m1 = MPC1(MbC(MbC(qxdcm(Val(t), 2), qxdcm(Val(s), 2)), 6), qxdcm(Val(t), 4))
m1 = MPC1(Trim(m1), qxdcm(Val(s), 4))
m1 = MPC1(Trim(m1), MbC(MbC(Val(t), qxdcm(Val(s), 3)), 4))
m1 = MPC(Trim(m1), MbC(MbC(qxdcm(Val(t), 3), Trim(s)), 4))

m = MBBC(Trim(m1))
If InStr(m, "/") = 0 Then
s1 = s1 + 1
s2 = s2 & "s=" & s & "  t=" & t & "   m=" & m & vbCrLf
Else
s2 = s2
End If


t = t + 1
Loop

s = s + 1
Loop
If Val(s1) > 0 Then
Text2 = s2
Else
Text2 = "s=" & s & "  wu jie"
End If

End Sub
Private Sub Command2_Click()
Text1 = ""
Text2 = ""

End Sub

xiaoshuchong

退而求其次，可以用椭圆曲线构造任意多对a,b，使得上述两式中一个是是完全平方数，另一个是完全平方数的两倍。
\begin{eqnarray}
2\times32538841^{2}&=&\left(29921759+5038800\right)^{2}+29921759^{2}\\35321809^{2}&=&\left(29921759+5038800\right)^{2}+5038800^{2}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
m^{2}&=&\left(a+b\right)^{2}+a^{2}\\n^{2}&=&\left(a+b\right)^{2}+b^{2}\\a&=&102781407845830449577743825057907777\\b&=&40217906035908745737511061208332256\\m^{2}&=&2\times124524739649234170212711325591423153^{2}\\n&=&148547244123078073516503644370222625^{2}
\end{eqnarray}

ysr

回复您的点评：“加上s、t互质，可略为提高效率。”

加上了，我在试试可能都无解。

代码如下：s算到4000~10000.

Private Sub Command1_Click()
Dim a, b, c
a = Val(Text1)
s = 4000
Do While Val(s) < Val(a)
t = s + 1
Do While Val(t) < Val(1 + 2 ^ 0.5) * s
If zzxc(Val(t), Val(s)) = 1 Then

m1 = MPC1(MbC(MbC(qxdcm(Val(t), 2), qxdcm(Val(s), 2)), 6), qxdcm(Val(t), 4))
m1 = MPC1(Trim(m1), qxdcm(Val(s), 4))
m1 = MPC1(Trim(m1), MbC(MbC(Val(t), qxdcm(Val(s), 3)), 4))
m1 = MPC(Trim(m1), MbC(MbC(qxdcm(Val(t), 3), Trim(s)), 4))

m = MBBC(Trim(m1))
If InStr(m, "/") = 0 Then
s1 = s1 + 1
s2 = s2 & "s=" & s & "  t=" & t & "   m=" & m & vbCrLf
Else
s2 = s2
End If
Else
t = t
End If

t = t + 1
Loop

s = s + 1
Loop
If Val(s1) > 0 Then
Text2 = s2
Else
Text2 = "s=" & s & "  wu jie"
End If

End Sub
Private Sub Command2_Click()
Text1 = ""
Text2 = ""

End Sub

ccmmjj

ysr 发表于 2023-5-25 04:45
回复您的点评：“加上s、t互质，可略为提高效率。”

加上了，我在试试可能都无解。

已经用椭圆曲线证明无解了，所以没必要去试了。使用计算机也没用。

xiaoshuchong

ccmmjj 发表于 2023-5-25 14:31
已经用椭圆曲线证明无解了，所以没必要去试了。使用计算机也没用。

您真是高看我了，椭圆曲线这个领域太难，我就只会点皮毛。高深的数学表达真不会，我熟练的只是诸如python, Sage, pari/gp, mwrank这些计算工具的使用。当然，这些不是什么没有用的奇技淫巧，现代数学尤其是像椭圆曲线、模形式这样的领域，掌握这些工具是必备的。  

cgl_74

ysr 发表于 2023-5-25 12:45
回复您的点评：“加上s、t互质，可略为提高效率。”

加上了，我在试试可能都无解。

感谢你的计算工作！
我认为这个工作是有价值的，至少可以从某个角度具体的感受到有解或者无解的原因。
我自己也看了下计算机的数据。在固定s值，t值按1递增，计算出来的值跳变很大，相邻2个t值，得到的m值（此时不一定为整数）跳变比较大。也就是说，虽然t是遍历覆盖，但是计算得到的整式值的值域范围更大，所以遍历不全整式值的值域范围，得到的值都不是完全平方数也是可能的。
当然，严谨的证明是另外一个角度，与你的计算工作不矛盾。