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本帖最后由 愚工688 于 2019-7-15 04:18 编辑
真实的素数出现率是 π(N)/N ,是没有误差的。 π(1-1/p)只是依据筛法推理出的素数近似出现率,
那么当N→∞ 是否能够导出 π(N)/N→0 呢?
素数定理:
在x→∞时,x之内的素数数量有
π(x)=x/lnx ;(式1)
(式1)的两边除以x,
就是π(x)/x=1/lnx; (式2)
式2的左边就是素数实际发生率;右边就是依据素数定理得出的素数理论发生率;
根据素数定理,x→∞时,π(x)→∞,因此素数出现率是两个无穷小量之比:
π(x)/x= (1/x)/[1/π(x)]
而无穷小量的比较的判断,是由它们阶的高低决定的,而不是你能够计算1/lnX的值计算到多小:
设u,v是两个无穷小量,即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多,则称为u为比v高价的无穷小量,记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多,则称为u为比v低价的无穷小量;
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多,则称为u与v 为同阶的无穷小量;
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样,则称为u与v 是等阶的无穷小量,记作u~v。
但是,依据素数定理,能否得出无穷小量 (1/x)比无穷小量[1/π(x)] 的阶高吗?
由于素数出现率π(x)/x实际上就是两个无穷小量的比较:
x→∞时,有 lim 1/x→0; lim 1/π(x)→0 ;
那么这两个无穷小量的比较是怎么样的呢?
引入一个已知的无穷小量 1/√x ,大家知道1/x 是比1/√x 高阶的无穷小量,(1/x)/(1/√x)=√x/x = 1/√x →0 .
那么1/π(x)的阶与它们比较是怎么样的?
考察一下x→∞的过程中,[1/π(x)] /(1/√x)、 (1/√x)以及π(x)/x 的值变化:
x=10^2, π(10^2)=25 ; √x/π(x) = 0.4 ; (1/√x)=0.1; π(x)/x = .25 ;
x=10^4,π(10^4)=1229; √x/π(x) ≈0.08137 ; (1/√x)=1e-2; π(x)/x = .1229;
x=10^8,π(10^8)=5761455, √x/π(x) ≈0.001736 ; (1/√x)=1e-4; π(x)/x ≈ .0576146;
x=10^10,π(10^10)=455052511 √x/π(x) ≈0.0002198; (1/√x)=1e-5; π(x)/x ≈ .0455053;
x=10^12,π(10^12)=3760……; √x/π(x) ≈2.659e-5 ; (1/√x)=1e-6; π(x)/x ≈ .0376079;
x=10^14,π(10^14)=3204……; √x/π(x) ≈3.12e-6; (1/√x)=1e-7; π(x)/x ≈ .0320494;
x=10^16,π(10^16)=2792……; √x/π(x) ≈3.58e-7 ; (1/√x)=1e-8; π(x)/x ≈ .0279238;
x=10^18,π(10^18)=2473……; √x/π(x) ≈4.042e-8 ; (1/√x)=1e-9; π(x)/x ≈ .02473995;
x=10^20,π(10^20)=2220……; √x/π(x) ≈4.503e-9 ; (1/√x)=1e-10; π(x)/x ≈ .0222082;
x=10^22,π(10^22)=2014……; √x/π(x) ≈4.964e-10; (1/√x)=1e-11; π(x)/x ≈ .0201467;
……
很显然,无穷小量 1/π(x)、1/x 都是比无穷小量1/√x 高阶,且它们与1/√x的比值趋于0的速度差得不多,又π(x)/x≠1 ,因此它们是同价的无穷小量;
因此 实际上的 π(x)/x的比值是缓慢缩小的,只能是趋于一个不等于0的常数c .
因此不管你能够把理论素数出现率 1/lnX 计算到多小,也不能改变无穷小量 1/π(x)、1/x 的阶,根据极限无穷小量比较理论,lim π(x)/x =a (a≠0 ),这是必然的,毫无疑义的。
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