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我喜欢做点实事
[这个贴子最后由申一言在 2010/06/26 09:37am 第 1 次编辑]
下面引用由pfx444在 2010/06/26 09:25am 发表的内容：
  A+B=C是数论中的 ABC大猜想！
 当 A=Xˇn，B=Yˇn,C=Zˇn时，n≥3就是费尔马猜想！
那你得证明啥！
证
因为中华簇
(√X^i）ˇ2+(√Y^i）ˇ2=(√Z^i）ˇ2, i=0,1,2,3,,,,
符合勾股定理
即 Aˇ2+Bˇ2=Cˇ2，
a.通解:
Xo=(2mn)^2/i
Yo=(m^2-n^2)^2/i
Zo=(m^2+n^2)^2/i
b. m=[(√Z^i+√Y^i)/2]^1/2
n=[(√Z^i-√Y^i)/2]ˇ1/2 （推导直接代入即可）
1.当i=2时
(1) X^2+Y^2=Z^2, 即勾股方程,当然符合勾股定理!
因此 在 X=2mn,Y=m^2-n^2 ,Z=m^2+n^2，m＞n，m,n均为正整数， 时有正整数解.
代入上式得:
(2mn)^2=(m^2+n^2)^2-(m^2-n^2)^2
(2^2)m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4-m^4+2m^2n^2-n^4
(2^2)m^2n^2=(2^2)m^2n^2 ,两边同时除以m^2n^2得:
2^2=2^2[(mn)^2/(mn)^2]
其中 m＞n,式子中分子等于分母,所以m,n可以是任意正整数,
因为左边=2^2
右边=(2^2)*[(mn)^2/(mn)^2]=2^2*1=2^2
所以 左边=右边,并且都是正整数.
因此当i=2时
即 X^2+Y^2=Z^2, 有无穷多正整数解!
2.i≥3时:
X^3+Y^3=Z^3,因为i为任何正整数都符合勾股定理
所以把X=2mn,Y=m^2-n^2 ,Z=m^2+n^2 代入上式得:
(2mn)^3=(m^2+n^2)^3-(m^2-n^2)^3
2^3m^3n^3=(m^2+n3)^3-(m^2-n^2)^3 两边同时除以m^3n^3得:
2^3=[(m^2+n3)^3-(m^2-n^2)^3]/m^3n^3
=(m^6+3m^4n^3+3m^2n^4+n^6-m^6+3m^4n^2-3m^2n^4+n^6)/m^3n^3
=(6m^4n^2+2n^6)m^3n^3
=6(m/n)+2(n^3/m^3)
由通解知:
m/n={[(√Z^i+√Y^i)/2]^1/2}/{[(√Z^i-√Y^i)/2]^1/2}
因为 m＞n m/n是分数(小数)
因此当仅当m=n时, (m/n)=1,或(n/m)^3=1.
左边=2^3
右边=6+2=8=2^3
才有正整数解
而Y=m^2-n^2=m^2-m^2=0
所以 X^3=Z^3,即X=Z,
因此 XYZ=0时有平凡正整数解!
而没有 XYZ≠0的非平凡的正整数解
因为右边的系数和符合杨辉三角数的和,
1 ---------------------------------1=2^0
a+b 1 1----------------------------1+1=2=2^1
(a+b)2 1 2 1-------------------------1+2+1=4=2^2
(a+b)3 1 3 3 1---------------------1+3+3+1=8=2^3
(a+b)4 1 4 6 4 1----------------1+4+6+4+1=16=2^4
(a+b)5 1 5 10 10 5 1----------1+5+10+10+5+1=32=2^5
(a+b)6 1 6 15 20 15 6 1----1+6+15+20+15+6+1=64=2^6
* * * *
(a+b)^i * * * * * *----------------------=2^i
注:杨辉三角转摘自:《杨 辉 三 角——中国古老的费马大定理 作者：易衍文》
同理:
因为左边=2^i
与 右边=2i相等
因此只有当 m=n时
才能使右边的系数和 Sn=a+b+c+,,,,+d=2i
又此时 Y=(m^2-n^2)^2/i=(m^2-m^2)^2/i=0
因此X^i=Z^i,即X=Z,
所以当i≥3之后齐次不定方程
X^i+Y^i=Z^i,
只有XYZ=0的平凡解;没有XYZ≠0的非平凡正整数解.
但是有无穷多有理数解.
Xo=(2mn)^2/i,
Yo=(m^2-n^2)^2/i
Zo=(m^2+n^2)^2/i
费尔马大定理正确!
证毕!
欢迎蒲福祥老师批评指正！
谢谢！ |
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发表于 2010-6-26 09:28
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