【转载】倍数含量筛法与恒等式( a/b×b/a=1 ）的妙用

yangchuanju · 发表于 2021-7-8 07:09

lusishu点评：我是如何，证明无穷大的偶数的，您还没有来的及看啊？你先看看，就知方法的窍妙了。发表于 2021-7-8 06:02

就是你的算式（二）呀！L与孪生素数有何干戈？那叫证明孪猜呀！

yangchuanju · 发表于 2021-7-8 13:21

洛必达法则在连乘积计算式n/2*∏(p-2)/p-2中没法应用
洛必达(L 'Hopital）法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
洛必达法则（定理）
设函数f(x）和F(x）满足下列条件：
⑴x→a时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;
⑵在点a的某去心邻域内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的导数不等于0;
⑶x→a时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大
则 x→a时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))
用洛必达法则求解未定式“00”型与“∞∞”型，洛必达法则定理如果
⑴lim(x→x0)(x→∞）f(x)=0（或∞），lim(x→x0)(x→∞）g(x)=0（或∞）；
⑵在点x0的某去心邻域内（或|x|>X),f′（x）及g′（x）都存在且g′（x）≠0；
⑶lim(x→x0)(x→∞）f′（x)g′（x）存在（或为无穷大），那么有（lxi→mx0)(x→∞）f(x)g(x)=lim(x→x0)(x→∞）f′（x)g′（x)=A(A为有限值或无穷大）.

连乘积计算式n/2*∏(p-2)/p-2中的∏(p-2)/p不是可导的连续函数，不满足洛必达法则的要求，
尽管当n趋近于无穷大时，p趋近于无穷大，连乘积趋近于无穷小（0），n/2*∏(p-2)/p-2是一个∞*0型代数式，
可转换成0:0或∞：∞型代数式，但它没法使用洛必达法则求极值。

yangchuanju · 发表于 2021-7-8 16:11

仿鲁思顺的“神奇”，“巧妙”法，取定p是偶数n以内的最大素数，
双计哥猜数下限计算式中的连乘号∏(p-2)/p=1/3*3/5*5/7*9/11*11/13*15/17*17/19*…*(p-2)/p
=[1/3*3/5*5/7*7/9*9/11*11/13*13/15*15/17*17/19*…*(q-2)/q*(p-2)/p]
*[11/9*15/13*21/19*…*q/(q-2)]
>1/3*3/5*5/7*7/9*9/11*11/13*13/15*15/17*17/19*…*(q-2)/q*(p-2)/p
第2中括号中的每一个分数都大于1，用1代替后，等号变成大于号。
式中q是比p小2的奇合数，q=p-2；或者p是孪生素数的较大者，q是比p小4的奇合数，q=p-4，可与孪生素数较小者p-2的分子p-4相约分。
∏(p-2)/p >1/3*3/5*5/7*7/9*9/11*11/13*13/15*15/17*17/19*…*(q-2)/q*(p-2)/p =1/p
再用稍小一点的p^2代换计算式中的n，则有：
n/2*∏(p-2)/p-2 > n/2*1/p-2 > p^2/2p-2 = p/2-2
当p≥7时，n/2*∏(p-2)/p-2 > 7/2-2=1.5，即当偶数n≥50时至少存在一对素数和等于n，哥猜成立！

偶数50比鲁先生的842小不少啊！
我也没有用加强筛啊！

yangchuanju · 发表于 2021-7-8 20:46

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-8 21:22 编辑

双筛原理
用双筛法求哥猜数实际上是将两列对应排列的奇数（或整数）用某一个奇素数p筛分时，只要两列对应数中有一个是p的倍数，都删除；
只要两列对应数中有一个是p的倍数，都删除；不存在筛不净的问题；
但用连乘积计算时，由于误差的积累才会出现筛不净的问题。
如用素数 3和5筛偶数26-48，整个筛分过程如下：
只要两列对应数中有一个是3的倍数，都标黄删除；只要两列对应数中还有一个是5的倍数，都标红删除：
因带格式的Excel表格复制不过来，原表格从略。

偶数删235后加减双实际计算删后波动因子计算值计算-删后
26 3 2 5 2.6 1 2.6 -0.4
28 2 2 4 2.8 1 2.8 0.8
30 8 -2 6 3 2.667 8.001 0.001
32 4 0 4 3.2 1 3.2 -0.8
34 3 4 7 3.4 1 3.4 0.4
36 6 2 8 3.6 2 7.2 1.2
38 5 -2 3 3.8 1 3.8 -1.2
40 4 2 6 4 1.333 5.332 1.332
42 8 0 8 4.2 2 8.4 0.4
44 6 0 6 4.4 1 4.4 -1.6
46 3 4 7 4.6 1 4.6 1.6
48 10 0 10 4.8 2 9.6 -0.4
计算误差（计算-删后）为正数者，如偶数40,46，表示计算值太大，好像“筛不净”，其实是计算误差的积累造成的；
但若按逐步筛分进行不存在这个问题！

yangchuanju · 发表于 2021-7-8 20:46

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-8 22:10 编辑

双筛原理（二）
用双筛法求孪生素数个数实际上是将两列对应排列的奇数（或整数）用某一个奇素数p筛分时，只要两列对应数中有一个是p的倍数，都删除；
同样只要两列对应数中有一个是p的倍数，都被删除了，不存在筛不净的问题；
但用连乘积计算时，由于误差的积累才会出现筛不净的问题。
如用素数 3和5筛偶数26-48，整个筛分过程如下：
只要两列对应数中有一个是3的倍数，都标黄删除；只要两列对应数中还有一个是5的倍数，都标红删除：
因带格式的Excel表格复制不过来，原表格从略。

奇数1 删235后加减实际计算删后计算-删后
25 2 2 4 2.5 0.5
27 2 2 4 2.7 0.7
29 3 2 5 2.9 -0.1
31 3 2 5 3.1 0.1
33 3 2 5 3.3 0.3
35 3 2 5 3.5 0.5
37 3 2 5 3.7 0.7
39 3 2 5 3.9 0.9
41 4 2 6 4.1 0.1
43 4 2 6 4.3 0.3
45 4 2 6 4.5 0.5
47 5 2 6 4.7 -0.3

对于47，删除235后剩余组包括47,49二数（共5对，但它不是孪生素数）。
计算误差（计算-删后）为正数者，本例大部分偶数都未正，表示计算值太大，好像“筛不净”，其实是计算误差的积累造成的；
但若按逐步筛分进行，再予以调加就不存在这个问题了！

yangchuanju · 发表于 2021-7-8 21:52

消除连乘积的计算误差有好多方法，连续向下取整是一种常用方法，如数学天皇就喜用这种方法。
既然连乘积公式存在“筛不净”的嫌疑，适当搞一点加强也无可非议！
我在上面所用的不计大于等于1的波动因子，舍弃应该调加的不加；应减去0-2的统统减去2，也算是一种加强吧！
不过鲁思顺的加强筛法用3/7代替1/2，用1/3代替3/5，未免加的太强了！

大傻8888888 · 发表于 2021-7-8 23:20

本帖最后由大傻8888888 于 2021-7-9 06:50 编辑

yangchuanju 发表于 2021-7-8 21:52
消除连乘积的计算误差有好多方法，连续向下取整是一种常用方法，如数学天皇就喜用这种方法。
既然连乘积公 ...

消除连乘积的计算误差首先应该知道偶数充分大时连乘积的计算值和实际值的误差是多少才能有的放矢。根据我的公式当x→∞时，D(x)表示哥猜解的个数,D(N)=（N/2）*∏(1-2/p)*∏[(p-1)/(p-2)]/[2e^(γ)]^2，（其中∏[(p-1)/(p-2)]里p|N，√N＞p＞2），因为1/[2e^(γ)]^2=0.793......。所以上面公式至少为D(N)=（N/2）*∏(1-2/p)*0.793......（其中√N＞p＞2），又因为（1/3*3/5*5/7*9/11）*7/9=∏(1-2/p)*0.77777......=1/11（其中11≥p＞2），所以上面公式可以改为D(N)＞（N/22）*∏(1-2/p)（其中N≥122，√N＞p＞11），为了保证第1式和最末式根本就不是哥猜数的1+p、p+1，上面公式则为D(N)＞（N/22）*∏(1-2/p)-2（其中N≥122，√N＞p＞11），改为单记法则为D(N)＞[（N/44）*∏(1-2/p)]-1（其中N≥122，√N＞p＞11），由此哥猜成立！虽然比yangchuanju先生的50稍微大一些，比鲁先生的842小不少，并且理论上比鲁先生的随意加强要好得多。

lusishun · 发表于 2021-7-9 04:37

共识逐步形成，
一，用连乘积，会出现误差，
二，想个办法，解决误差，
三。加强多少为好（待协调）
四，加强是办法

yangchuanju · 发表于 2021-7-9 07:02

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-9 08:35 编辑

误差分析：
对于偶数10014来说，平方根内最大素数是97：
素数累次各次计算计删累计
—— 删余删除删除 -实删误差
2 5007 5007 5007 0.00 0.00
3 3338 1669 1669 0.00 0.00
5 2004 1334 1335.2 1.20 1.20
7 1432 572 572.57 0.57 1.77
11 1170 262 260.36 -1.64 0.14
13 994 176 180.00 4.00 4.14
17 880 114 116.94 2.94 7.08
19 794 86 92.63 6.63 13.71
23 724 70 69.04 -0.96 12.75
29 674 50 49.93 -0.07 12.68
31 626 48 43.48 -4.52 8.17
37 584 42 33.84 -8.16 0.00
41 556 28 28.49 0.49 0.49
43 532 24 25.86 1.86 2.35
47 508 24 22.64 -1.36 0.99
53 486 22 19.17 -2.83 -1.84
59 470 16 16.47 0.47 -1.37
61 452 18 15.41 -2.59 -3.96
67 442 10 13.49 3.49 -0.46
71 432 10 12.45 2.45 1.99
73 424 8 11.84 3.84 5.82
79 416 8 10.73 2.73 8.56
83 412 4 10.02 6.02 14.58
89 406 6 9.26 3.26 17.84
97 406 0 8.37 8.37 26.21
各次计算删除量减去实际删除量有正有负，筛分素数越大，误差越大；
累计误差波动式地增大，最后达到26.21。
按照鲁思顺比例含量原理，各次筛分计算值误差不应大于±1，但从上述计算知，误差最大的超过8，表明鲁思顺的比例含量原理不成立！

另10014的双计哥猜数是418，累计筛分后为406，应调减0个，调加12个，406+12=418，累筛无误差；
连乘积计算值（含波动因子）384，减累筛剩余406，误差22；
一次计算与多次计算之间也形成一点误差，一次计算误差22，多次计算误差26（更大些）。

yangchuanju · 发表于 2021-7-9 08:36

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-9 08:40 编辑

孪生素数个数误差分析：
对于奇数对1--10013和3--10015，用双筛法筛分，10015以内最大素数是97，筛分后：
素数累次各次计算计删累计
—— 删余删除删除 -实删误差
2 5007 5007 5007 0.00 0.00
3 3338 3338 3338 0.00 0.00
5 4006 668 667.6 -0.40 -0.40
7 4293 287 286.0 -1.00 -1.40
11 4422 129 129.8 0.82 -0.58
13 4512 90 90.00 0.00 -0.58
17 4568 56 58.24 2.24 1.65
19 4616 48 46.21 -1.79 -0.14
23 4648 32 34.00 2.00 1.86
29 4674 26 24.76 -1.24 0.62
31 4700 26 21.48 -4.52 -3.89
37 4715 15 16.59 1.59 -2.30
41 4730 15 14.24 -0.76 -3.06
43 4746 16 12.88 -3.12 -6.17
47 4754 8 11.11 3.11 -3.06
53 4766 12 9.55 -2.45 -5.52
59 4774 8 8.17 0.17 -5.35
61 4784 10 7.64 -2.36 -7.71
67 4794 10 6.66 -3.34 -11.05
71 4800 6 6.00 0.00 -11.05
73 4802 2 5.67 3.67 -7.38
79 4804 2 5.19 3.19 -4.19
83 4807 3 4.89 1.89 -2.30
89 4809 2 4.49 2.49 0.19
97 4809 0 4.08 4.08 4.28
各次计算删除量减去实际删除量有正有负，筛分素数越大，误差越大；
累计误差（绝对值）波动式地增大，最后-11.05，正负抵消后累计误差为4.28。
按照鲁思顺比例含量原理，各次筛分计算值误差不应大于±1，但从上述计算知，误差最大的超过4，鲁思顺的比例含量原理对不对值得探讨！
另10015的孪生素数个数是206，累计筛分后为198，调加8个，198+8=206，累筛无误差；
连乘积计算值193.72，误差4.28；本例一次计算与多次计算之间误差相同。

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