对n至2n间素数个数大约等于n以内素数个数的思考

蔡家雄

天山草 发表于 2021-6-28 19:11
当 n  趋于无穷大时，  n 以内的素数个数等于 n 至 2 n 间的素数个数。

证明如下：

永远难忘我的 天山草 老师！！！

今天突然想起来了几年前曾经更改过的天山草的登录密码。因此以后将不再使用 天山草@ 这个马甲。

—— 天山草老师的 MATHEMATICA 就可以 大显神威 了 ！！！

天山草

推广：当  n  趋于无穷大时，  把 n 分成相等的有限的 m 段，则每一段内的素数个数都趋于相等。

天山草

用软件验证一下：

天山草

上面这个结论是不是与“数字越大，素数越稀少” 矛盾呢？ 并不矛盾。这是因为当 n 充分大，并且将其分成的段数 m 不是充分多，则每一段内的素数个数越靠后就越少，体现了数字越大素数分布越稀的规律，但是减少的程度远不象人们想像的那样快速。

例如，令  n = 10^100;  将其分成五段 m = 5; 则每一段内的素数个数大致如下：

天山草

如果  n = 10^10000000;  仍分成  m=5  段。则每一段所含素数个数大致为：



所以说，当  n  趋于无穷大时，  把 n 分成相等的有限的 m 段，则每一段内的素数个数趋于相等。—— 这个命题成立。

任在深

《中华单位论》证明n与2n之间的素数单位的个数。
证明：
        因为  (1)π(N)=[N+12(√N-1)]/An,其中An取极大值，An=√N-1
           则  (2)f(2n-n)≥π(2n)-π(n)
                                ≥[2n+12(√2n-1)]/√2n-1)-[n+12(√n-1)]/(√n-1)
                                ≥√2n+12-√n-12
                                ≥√n(√2-1)
         当n=2,2n=4, (2,3,4),有一个素数单位3，
            n=4,2n=8,(4,5,6,7,8)有两个素数单位5,7，
            n=8,2n=16(8,9,10,11,12,13,14,15,16,)有两个素数单位，11,13，
        当n≥16之后：
        f(2n-n)≥√n(√2-1)
                   ≥√16(√2-1)
                   ≥1
             証毕。

兼听明偏听暗

看来：当 n  趋于无穷大时，  n 以内的素数个数等于 n 至 2 n 间的素数个数，并不复杂。

说勃兰特.切比雪夫定理很弱，既不能判断这个素数的确定值，也得不出在n 至 2n之间有多少个素数，属于过分要求，能把n 至 2n之间的素数表达出来，看是简单，实则不易。

yangchuanju

天山草 发表于 2021-6-28 23:24
如果  n = 10^10000000;  仍分成  m=5  段。则每一段所含素数个数大致为：

小生一直敬仰的天山草大师再次回归《数学中国论坛》的《哥猜等难题和猜想》板块，十分欣慰！
“当  n  趋于无穷大时，  把 n 分成相等的有限的 m 段，则每一段内的素数个数都趋于相等。”
本命题一定是天山草大师早年透彻研究过的课题，从大师给出的各证明贴和几组数据足以看出大师对此命题记忆犹新！
用素数定理计算式得到的各段素数个数是前多后少——反应的是“素数越来越稀”的一般规律；各段素数个数都趋近相等——反应的是“素数无穷多”的定理。
而各段实际存在的素数（由于素数个数总是波动式的変稀）可能是真正的相等，甚至出现后多前少的一些“反例”。

yangchuanju

自然数扩大平方倍，素数密度衰减50%
白新岭有一段点评：“素数的稀薄程度是与自然数的平方关系的半衰期，意思是说，自然数扩大平方倍，素数密度才衰减50%，一个是以指数形式增长，一个是以乘数级别衰减，它们之间没有可比性。  发表于 2021-6-28 23:22”
笔者认为判断素数的稀稠程度可用1/ln(x)表示，按照素数定理，在正整数x范围内约有x/ln(x)个素数，在kx范围内有kx/ln(kx)个素数；素数密度（分率）分别等于1/ln(x)和 1/ln(kx)；
当1/ln(x)=2/ln(kx)时，ln(kx)=2*ln(x)=ln(x^2)；kx=x^2；亦即“自然数扩大平方倍，素数密度才衰减50%”。
另当1/ln(x)=10/ln(kx)时，ln(kx)=10*ln(x)=ln(x^10)；kx=x^10；亦即正整数x扩大10次方，素数密度降低一个数量级。

yangchuanju

10万=10^5内有9592个素数，约占1/10；
10^10内有455052511个素数，约占4.55%，按素数定理计算的素数分率约为0.043429=4.34%；
10^100内素数计算分率约为0.434%；
10^1000内素数计算分率约为0.0434%；
10^10000内素数计算分率约为0.00434%；
10^100000内素数计算分率约为0.000434%；
10^1000000内素数计算分率约为0.0000434%；
10^10000000内素数计算分率约为0. 00000434%；
10^100000000内素数计算分率约为0.000000434%；
10^1000000000内素数计算分率约为0.0000000434%；
10^10000000000内素数计算分率约为0.00000000434%；
10^100000000000内素数计算分率约为0.000000000434%；
……