施笃兹定理与公式的使用条件

elim

极限的方向可能改变，但当原商分母单调趋于正无穷，差商收敛到正数时，原商的分子必也趋于正无穷，而且原商的极限等于差商的极限。

jzkyllcjl 如果不吃狗屎，那么他应该会证明上述结果。事实上这就是 Stolz定理的证明梗概。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2021-2-26 16:45
elim与春风晚霞：第一，你使用使用施笃兹公式后是 ，确实改变了原有的趋向于0的方向。第二，我得到A(n)的分 ...

用施篤兹定理算得\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(1/n\over lnn\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(-1\over n+1\)=\(0^-\)与常规方法求极限结果是一致的。这是因为\(a_n\)=\(1\over n\)单调递减，\(b_n\)=lnn单调递增。即当n\(\to\)∞，\(b_n\)\(\to\)∞，\(a_n\)\(\to\)0。因此\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(1/n\)=\(0^-\)(即\(a_n\)由左向右逼近于0，\(b_n\)由左向右趋向无穷)。所以用商的极限等于极限的商仍有\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(1/n\over lnn\)=\(0^-\)。注意：这里的\(0^+\)、\(0^-\)只表示从左或从右向0逼近，并无数值上的差异。只有在忽略向零逼近的方向时，我们才有\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(1/n\over lnn\)=0。任何情况下都没有\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(1/n\over lnn\)=\(0^+\)的情形。所以，说运用施篤兹定理求极限改变了极限方向是没有根据的。

jzkyllcjl

春风晚霞：第一， 1/n/ln（n）始终是正数，所以它只能从右边趋向于0，所以它的全能近似极限是0正。
第二，当分子极限为有穷数时，施笃兹公式不成立。请你研究你的依据是否正确。麻烦你了。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2021-2-27 07:38
春风晚霞：第一， 1/n/ln（n）始终是正数，所以它只能从右边趋向于0，所以它的全能近似极限是0正。
第二， ...

谁说当分子极限为有穷数时施笃兹公式不成立？你还记得你曾经让我记算的两个题吗？
第一，请你使用施笃兹公式计算∣Sin(α)∣/ln (n) 的极限是什么？
解：在分式\(|sin\alpha\)|/lnn中：令\(x_n\)=|sin\(\alpha\)|；\(y_n=lnn\)；由对数函数性质知①数列{\(y_n\)}单调递增；②\(\lim\limits_{n\to\infty}y_n \)=∞，③\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(x_{n+1}-x_n\over y_{n+1}-y_n\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(0\over ln(1+1/n)\) \(\overset{\text{分子恒为0}}{\equiv}\)0
所以：\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(|sin\alpha\)|/lnn=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(0\over ln(1+1/n)\) =0
第二，请你使用施笃兹公式计算 1/n/ln(n) 的极限是0负 或0正。
解:在分式\(1/n\over lnn\)中：令\(x_n\)=\(1\over n\)；\(y_n\)=lnn；由对数函数性质易知①数列{\(y_n\)}单调递增;②\(\lim\limits_{n\to\infty}y_n \)=∞；③\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\({x_{n+1}-x_n\over y_{n+1}-y_n}\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(1/(n+1)-1/n\over ln(n+1)-lnn\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(-1\over n(n+1)ln(1+1/n)\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(-1\over (n+1)ln(1+1/n)^n\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(-1\over n+1\)=\(0^-\)
所以：\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(1/n\over lnn\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(-1\over n+1\)=\(0^-\)
其中第一、第二两题，分子的极限都是有限数，若不考虑极限的趋近方向，这两题的极限都是0。这与你的认知是完全一致的。还是请你先弄清楚极限为\(0^-\)、\(0^+\)的数学意义，再来卖弄你的《全能似似分析》好吗？

jzkyllcjl

春风晚霞：第一， 1/n/ln（n）始终是正数，所以它只能从右边趋向于0，所以它的全能近似极限是0正。与使用施笃兹公式的计算的结果不同。
第二，当分子极限为有穷数时，施笃兹公式不成立。请你研究你的依据是否正确。麻烦你了。

elim

jzkyllcjl 吃上了狗屎，恋上了作弊．不是可以教育好的．果然被人类数学抛弃．

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2021-2-27 17:47
春风晚霞：第一， 1/n/ln（n）始终是正数，所以它只能从右边趋向于0，所以它的全能近似极限是0正。与使用施 ...

jzkyllcjl：第一， 关于某极限为\(0^+\)或\(0^-\)的数学意义，请你查阅你在哪本书上抄的“请你使用施駕兹公式计算1/n/ln（n）的极限是0负或是0正”一题，那本书一定会介绍极限为\(0^+\)或\(0^-\)的数学意义。虽然“\(1/n\over lnn\)始终是正数”，当且仅当n从左向右趋向于无穷时，才有\(1\over n\)趋向于0。极限值为\(0^+\)或\(0^-\)是相对于极限值是0的点而言的。因为\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(1\over n\)=0，故其极限值为0的点为∞。所以，\(1\over n\)只能从左向右趋向于0（即n趋向于无穷大）。至于你的“全能近似极限是0正。与使用施笃兹公式的计算的结果不同”。孰是孰非，望先生自酌。
第二、当分子极限为有穷数时，施笃兹公式依然成立。请百度《施篤兹定理》及陈兆斗先生《施笃兹定理应用举例》视屏讲座，对比着你手边的资料自行思考。

jzkyllcjl

春风晚霞：第一，你说的1/n 从左向右趋向于0 是错的，实际上n=1,,n=2 ,n=3,时，它们都在0的右边，而且是从右边趋向于0的。第二，百度上有你的说法，但我研究了菲赫金哥尔茨的证明过程，昨天提出了对elim 极限的进一步研究，请你审查指导。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2021-2-28 08:44
春风晚霞：第一，你说的1/n 从左向右趋向于0 是错的，实际上n=1,,n=2 ,n=3,时，它们都在0的右边，而且是从 ...

jzkyllcjl：第一， 关于某极限为\(0^+\)或\(0^-\)的数学意义，看来你没有查阅你抄“请你使用施駕兹公式计算1/n/ln（n）的极限是0负或是0正”的那本书，所以你现在还不明白极限为\(0^+\)或\(0^-\)的数学意义。限值为\(0^+\)或\(0^-\)是\(\color{red}{相对于相对于极限值是0}\)点而言的。因为\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(1\over n\)=0，故其极限值为0的点为∞。所以，\(1\over n\)\(\color{red}{只能从左向右}\)趋向于0。没错，我“说的1/n 从左向右趋向于0”，但 这种提法不是错误的。虽然“n=1,n=2 ,n=3,时，它们都在0的右边”，但是它们都在使1/n的\(\color{red}{极限值为0的点}\)的左边(因为使1/n的极限值为0的点是∞，所以不存比∞还大的数)。所以，1/n“从∞的右边趋向于0”这是根本不可能的。
第二、先生既然知百度上有应用施篤兹定理，不需预判待求极限的分子是否趋向无穷的说法，就应该从这个角度重新对elim提出的 极限作进一步研究。这方面的工作我做了，倒请你审查指导我计算A(n)的极限为什么也是\(2\over 3\)而不是0？我希望你能指出我的计算具体那步错了？为什么那步错了？

jzkyllcjl

春风晚霞：第一，概念不能混淆。 n 与1/n 有关但不同。你说的1/n 从左向右趋向于0 是错的，实际上n=1,,n=2 ,n=3,时，它们都在0的右边，而且1/n是从 0的右边趋向于0的，虽然这时需要n.从左边趋向于∞. ,但这与n 始终小于.∞.从左边趋向于∞. 不同。全能近似极限的定义是我参考现行数学教科书写出的，其定义是在我请你审查的稿件中的定义1. 你一直批判我，为什么不知道我的定义1.
第二，为了 你与elim 的不需要预判分子是否趋向无穷的说法，我昨天发了进一步研究的帖子，请你审查其中对施笃兹定理证明过程的分析。