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哥德巴赫猜想真理性之证明
数学归纳法的证明
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证明
一个简化的证明方法在下面给出。这个证明为了能让那些没有经过太多数学训练的读者也能够读懂,没有用到“存在(there exists)”和“对所有元素而言(all)”的数学符号。这个证明的关键思路是自然数减法和反证法。
假设:(1) P(0)
和
(2) 对所有的n ≥ 0, P(n) ⇒ P(n + 1)
这两个命题成立。
考虑如下命题:
(3) 对所有的 m ≥ 0, P(m)成立
就是说对所有m的整数值,P皆为真。
假设此命题为假,即等价于
(4) 存在能使非P(m)成立的m。
此证明试图证明若(1),(2)为真,可推出(4)为假,从而得出命题(3)成立。
假设(1),(2),(4)命题成立。
由命题(4),令m′为能使非P(m′)成立的最小值。
显然,m′不能为0,因为这样做会立即导致一个矛盾:(P(0) & 非 P(0)) with P(0) - 与命题(1)矛盾。
假设m′>0
由m′的定义可知,P(m′ - 1)成立,因此由(2),P(m′)成立。这也有矛盾:P(m′) & 非 P(m′)同时成立。
因此得出,由(1),(2)命题只能推出非(4)成立,即前面所述的命题(3)成立。
因此,有:
(1) P(0)
及
(2) P(n) ⇒ P(n + 1)
成立,可推出(有小小的换元)
(3) 对于所有的 n ≥ 0, P(n)成立。
这个即为数学归纳法原理。
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