\(\Large\textbf{数学史上的最傻证明和最傻定理}\)

APB先生

\[1=0.\dot{9}\ \wedge\ 0.\dot{9}9\ \Rightarrow\ 0.\dot{0}1=0\ \Rightarrow\ 1=0\]

elim

\(0.\dot 99\)也属语无伦次．

APB先生

\[0.\dot{9}9=0.\dot{9}\times0.1+0.9=0.0\dot{9}+0.9=0.9\dot{9}>0.\dot{9}\]

APB先生

\[0.\dot{\dot{9}}\dot{9}\ >\ 0.\dot{9}\]

elim

\(0.9\dot 9\) 和\(0.\dot 9\) 都是小数点后 \(9\) 的无穷循环，所以一样大。

APB先生

       如下两个不等式链\[0.1>0.01>0.001>\cdots>10^{-n}>\cdots>0\]\[0.9<0.99<0.999<\cdots<1-10^{-n}<\cdots<1\]是肯定成立的！！假如不成立，\(10^{-n}=0\)，则会导致矛盾 \(1=0\ \Leftarrow10^{-n}\div10^{-n}=0\div10^{-n}\ \) ；因此 \[1-10^{-n}<1-10^{-\left( n+1\right)}\]\[0.\dot{9}<0.9\dot{9}\ 。\]

elim

严格增序列 \(0.9,0.99,0.999,\ldots,1-10^{-n},\ldots\) 里没有一项是
\(0.\dot 9 = \displaystyle\sum_{k=1}^\infty{\small\frac{9}{10^k}}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n{\small\frac{9}{10^k}}=\lim_{n\to\infty}(1-10^{-n})=1\)

APB先生

       是先有 \(10^{-n}\) 后有  \(1-10^{-n}\) ，本末倒置是错误的；\(10^{-n}>0\) 的成立就已经决定了 \(1-10^{-n}<1\) 。\[\ \lim\left( 1-10^{-n}\right)=\lim1-\lim10^{-n}=1-10^{-\infty}=1-0.\dot{0}1=0.\dot{9}9<1\]

elim

APB先生 发表于 2024-7-16 20:02
是先有 \(10^{-n}\) 后有  \(1-10^{-n}\) ，本末倒置是错误的；\(10^{-n}>0\) 的成立就已经决定了 \ ...

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} 10^{-n} = 0\)

APB先生

\[\lim\left\{ 10^{-1}{,}\ 10^{-2}{,}\ \ \cdots{,}\ \ 10^{-n}{,}\ \ \cdots\right\}=0\]\[\lim10^{-n}=10^{-n}\]