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0.999……能等于1吗?
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先考察一下《数学分析》里的等号“=”。
《分析》认为,dy=f′(x)dx,用的是等号。
例如 对于y=x^3,dy=3x^2dx,而事实上是
dy=(x+dx)^3-x^3=3x^2dx+3x(dx)^2+(dx)^3
dx就是一个无穷小。3x(dx)^2是dx的高阶无穷小,(dx)^3是3x(dx)^2的高阶无穷小,因此认为dy=3x^2dx是舍去了更高阶的无穷小。
从而定积分的结果也是舍去了无穷小。
也就是说,对于运算的最后结果,或者是不再作“无限”运算,那么对于无穷小是当零对待的。
也就是说《数学分析》里的结果都是精确到无穷小的“近似”计算。
从这个意义上说0.9999……=1,而事实上只是精确到无穷小而已。
根据需要有时又把无穷小当非零对待,比如:
y=sin(1/x),当x→0时,线段{(0,y)|-1≤y≤1}上的每一点都是{(x,sin(1/x)}的极限点,但每一点都不属于{(x,sin(1/x)}。
从这个意义上说,1不属于集合{0.9,0.99,0.999,……},
即0.999……<1。
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