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本帖最后由 痛打落水狗 于 2024-1-26 15:23 编辑
周民强例5中的集合是实数轴上的半开半闭区间。为说明问题,现统一符号如下:
\(\forall k\in\mathbb{N},A_k=\{m\mid k<m\in\mathbb{N}\}=\{k+1,k+2,\cdots\},B_k=\{m\mid k\leq m\in\mathbb{N}\}=\{k,k+1,\cdots\},C_k=[k,\infty)\). (其中\(C_k\) 是例5中的递减集合列。)那么显然有 \(\forall k\in\mathbb{N},A_k\subset B_k\subset C_k,\) 所以\(\bigcap\limits_{k=1}^\infty A_k\subset\bigcap\limits_{k=1}^\infty B_k\subset\bigcap\limits_{k=1}^\infty C_k.\) 于是根据递减集合列极限定义,有\(\lim\limits_{n\to\infty}A_k\subset\lim\limits_{n\to\infty}B_k\subset\lim\limits_{n\to\infty}C_k\). 周民强已经证明\(\lim\limits_{n\to\infty}C_k=\varnothing,\) 那么很自然有\(\lim\limits_{n\to\infty}A_k=\lim\limits_{n\to\infty}B_k=\varnothing.\) |
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