设 a,b 是正整数，求证：2a^2+2ab+b^2 与 a^2+2ab+2b^2 中至多只有一个完全平方数

ysr

例如：a=11  m=410  n=325  √m=20  √n=18，此时b=6.
410~325之间有俩平方数：400,361.
前者a=6，b=2就可以得到10*10=100，后者64+4=68=4*17是非平方数。
前者a=12，b=4就可以得到20*20=400，后者256+16=272=16*17是非平方数。
当m=400时，n不等于361或者18*18=324等平方数。

怎么证明啊？证明还是有难度的，不好弄了！

ysr

ysr 发表于 2023-5-22 11:49
a=11，b=1,2,3，……，10，时，只有如下3组m，n是相邻数：
a=11  m=482  n=425  √m=21  √n=20
a=11  m= ...

例如：a=11  m=410  n=325  √m=20  √n=18，此时b=6.
410~325之间有俩平方数：400,361.
前者a=6，b=2就可以得到10*10=100，后者64+4=68=4*17是非平方数。
前者a=12，b=4就可以得到20*20=400，后者256+16=272=16*17是非平方数。
当m=400时，n不等于361或者18*18=324等平方数。

怎么证明啊？证明还是有难度的，不好弄了！

ccmmjj

ysr 发表于 2023-5-22 11:43
程序验证了一下，a和b没有公因子，也不一定是2次相邻数，设m=前者=（a+b）^2+a^2，n=后者=（a+b）^2+b^ ...

是啊，通过计算机验算就会知道，你那个二次相邻的概念在这道题中是不能用的。数学证明不能仅靠直观感觉，特别是不好的直觉，会走错方向。

cgl_74

到底证明出来没有呢？
我有个稍微简单的方法可证，而且是通常套路。用不上费马定理这么高深的结论。

———————————
订正：我在整理解答时发现漏洞。此题我暂时未能证明其不成立！

该题可以转换为：若a, b都为奇数时，是否存在上述2个表达式都为完全平方数。
如果能证明不成立，则对所有正整数a, b都不成立。如果找到a, b使之成立，那当然结论就成立了。

ysr

a=97  m=19013  n=9605  √m=137.887635413767  √n=98.0051019080129
a=97  m=19210  n=9805  √m=138.600144300069  √n=99.0201999594022
a=97  m=19409  n=10009  √m=139.316187142772  √n=100.044989879554
a=97  m=19610  n=10217  √m=140.035709731482  √n=101.079176886241
a=97  m=19813  n=10429  √m=140.75865870347  √n=102.122475488993
a=97  m=20018  n=10645  √m=141.484981535144  √n=103.174609279609
a=97  m=20225  n=10865  √m=142.214626533279  √n=104.235310715707
a=97  m=20434  n=11089  √m=142.947542826031  √n=105.304320899002
a=97  m=20645  n=11317  √m=143.683680353755  √n=106.381389349829
a=97  m=20858  n=11549  √m=144.422989859648  √n=107.466273779265
a=97  m=21073  n=11785  √m=145.165422880244  √n=108.558739860041
a=97  m=21290  n=12025  √m=145.910931735768  √n=109.658560997307
a=97  m=21509  n=12269  √m=146.659469520382  √n=110.765518100174
a=97  m=21730  n=12517  √m=147.410990092327  √n=111.879399354841
a=97  m=21953  n=12769  √m=148.16544806398  √n=113
a=97  m=22178  n=13025  √m=148.922798791857  √n=114.127122105133
a=97  m=22405  n=13285  √m=149.682998366548  √n=115.260574352204
a=97  m=22634  n=13549  √m=150.446003602621  √n=116.400171821179
a=97  m=22865  n=13817  √m=151.211772028503  √n=117.545735779738
a=97  m=23098  n=14089  √m=151.980261876337  √n=118.697093477473
a=97  m=23333  n=14365  √m=152.751432071847  √n=119.854077944808
a=97  m=23570  n=14645  √m=153.525242224202  √n=121.016527796826
a=97  m=23809  n=14929  √m=154.301652615907  √n=122.184287042156
a=97  m=24050  n=15217  √m=155.080624192708  √n=123.357204896998
a=97  m=24293  n=15509  √m=155.862118553547  √n=124.535135604375
a=97  m=24538  n=15805  √m=156.646097940549  √n=125.717938258627
a=97  m=24785  n=16105  √m=157.432525229064  √n=126.905476635171
a=97  m=25034  n=16409  √m=158.221363917772  √n=128.097619025492
a=97  m=25285  n=16717  √m=159.012578118839  √n=129.29423807734
a=97  m=25538  n=17029  √m=159.80613254816  √n=130.495210640084
a=97  m=25793  n=17345  √m=160.60199251566  √n=131.700417615131
a=97  m=26050  n=17665  √m=161.40012391569  √n=132.909743811355
a=97  m=26309  n=17989  √m=162.200493217499  √n=134.123077805425
a=97  m=26570  n=18317  √m=163.0030674558  √n=135.340311806941
a=97  m=26833  n=18649  √m=163.807814221422  √n=136.561341528267
a=97  m=27098  n=18985  √m=164.61470165207  √n=137.786066058945
a=97  m=27365  n=19325  √m=165.42369842317  √n=139.014387744578
a=97  m=27634  n=19669  √m=166.23477373883  √n=140.246212070059
a=97  m=27905  n=20017  √m=167.047897322894  √n=141.481447547019
a=97  m=28178  n=20369  √m=167.86303941011  √n=142.720005605381
a=97  m=28453  n=20725  √m=168.680170737405  √n=143.96180048888
a=97  m=28730  n=21085  √m=169.499262535269  √n=145.206749154438
a=97  m=29009  n=21449  √m=170.320286519252  √n=146.454771175268
a=97  m=29290  n=21817  √m=171.143214881572  √n=147.705788647568
a=97  m=29573  n=22189  √m=171.968020282842  √n=148.959726100715
a=97  m=29858  n=22565  √m=172.794675843904  √n=150.216510410807
a=97  m=30145  n=22945  √m=173.623155137787  √n=151.476070717457
a=97  m=30434  n=23329  √m=174.453432181772  √n=152.738338343718
a=97  m=30725  n=23717  √m=175.285481429581  √n=154.003246719022
a=97  m=31018  n=24109  √m=176.119277763679  √n=155.270731305034
a=97  m=31313  n=24505  √m=176.954796487691  √n=156.5407295243
a=97  m=31610  n=24905  √m=177.792013318934  √n=157.813180691601
a=97  m=31909  n=25309  √m=178.630904381073  √n=159.088025947901
a=97  m=32210  n=25717  √m=179.471446196881  √n=160.365208196791
a=97  m=32513  n=26129  √m=180.313615681124  √n=161.644672043343
a=97  m=32818  n=26545  √m=181.157390133552  √n=162.926363735278
a=97  m=33125  n=26965  √m=182.002747232013  √n=164.210231106347
a=97  m=33434  n=27389  √m=182.849665025671  √n=165.496223521868
a=97  m=33745  n=27817  √m=183.698121928342  √n=166.784291826299
a=97  m=34058  n=28249  √m=184.548096711941  √n=168.074388292803
a=97  m=34373  n=28685  √m=185.399568500037  √n=169.366466574703
a=97  m=34690  n=29125  √m=186.252516761519  √n=170.66048165876
a=97  m=35009  n=29569  √m=187.106921304371  √n=171.95638982021
a=97  m=35330  n=30017  √m=187.962762269552  √n=173.254148579478
a=97  m=35653  n=30469  √m=188.820020124986  √n=174.553716660517
a=97  m=35978  n=30925  √m=189.678675659653  √n=175.85505395069
a=97  m=36305  n=31385  √m=190.538709977789  √n=177.158121462156
a=97  m=36634  n=31849  √m=191.400104493179  √n=178.462881294683
a=97  m=36965  n=32317  √m=192.262840923565  √n=179.769296599837
a=97  m=37298  n=32789  √m=193.126901285139  √n=181.077331546497
a=97  m=37633  n=33265  √m=193.992267887151  √n=182.38695128764
a=97  m=37970  n=33745  √m=194.858923326595  √n=183.698121928342
a=97  m=38309  n=34229  √m=195.726850483014  √n=185.010810494955
a=97  m=38650  n=34717  √m=196.596032513375  √n=186.324984905407
a=97  m=38993  n=35209  √m=197.46645284706  √n=187.640613940586
a=97  m=39338  n=35705  √m=198.338095180931  √n=188.95766721676
a=97  m=39685  n=36205  √m=199.210943474499  √n=190.276115158997
a=97  m=40034  n=36709  √m=200.084981945172  √n=191.59592897554
a=97  m=40385  n=37217  √m=200.9601950636  √n=192.917080633105
a=97  m=40738  n=37729  √m=201.836567549094  √n=194.23954283307
a=97  m=41093  n=38245  √m=202.714084365147  √n=195.563288988501
a=97  m=41450  n=38765  √m=203.592730715023  √n=196.888293202008
a=97  m=41809  n=39289  √m=204.472492037438  √n=198.214530244379
a=97  m=42170  n=39817  √m=205.353354002315  √n=199.541975533971
a=97  m=42533  n=40349  √m=206.235302506627  √n=200.870605116826
a=97  m=42898  n=40885  √m=207.118323670312  √n=202.200395647486
a=97  m=43265  n=41425  √m=208.002403832263  √n=203.531324370476
a=97  m=43634  n=41969  √m=208.887529546404  √n=204.863369102434
a=97  m=44005  n=42517  √m=209.773687577828  √n=206.196508214858
a=97  m=44378  n=43069  √m=210.660864899012  √n=207.530720617455
a=97  m=44753  n=43625  √m=211.549048686114  √n=208.865985742054
a=97  m=45130  n=44185  √m=212.438226315322  √n=210.202283527083
a=97  m=45509  n=44749  √m=213.328385359286  √n=211.539594402561
a=97  m=45890  n=45317  √m=214.219513583614  √n=212.877899275618
a=97  m=46273  n=45889  √m=215.111598943432  √n=214.21717951649
a=97  m=46658  n=46465  √m=216.004629580016  √n=215.557416944999

uk702

提一个思路，假设 a = b + k，则题目相当于证明存在正整数 b，k ，使得   \(5 b^2 + 6 b k + 2 k^2 \)  与 \( 5 b^2 + 4 b k + k^2 \) 均为完全平方数。

先考虑 b 和 k 都是奇数的情况，
1) b=1 (mod 8)， k=1 (mod 8)，则 5 b^2 + 4 b k +  k^2 = 5 + 4 + 1 = 2 (mod 8) 不可能是完全平方数
2) b=1 (mod 8)， k=3 (mod 8)，则 5 b^2 + 4 b k +  k^2 = 5 + 12 + 1 = 2 (mod 8) 不可能是完全平方数
3) b=1 (mod 8)， k=5 (mod 8)，则 5 b^2 + 4 b k +  k^2 = 5 + 20 + 1 = 2 (mod 8) 不可能是完全平方数
4) b=1 (mod 8)， k=7 (mod 8)，则 5 b^2 + 4 b k +  k^2 = 5 + 28 + 1 = 2 (mod 8) 不可能是完全平方数

同理可验证，若 b 和 k 都是奇数时， 始终有 5 b^2 + 4 b k + k^2 = 2 (mod 8) 不可能是完全平方数。

而若 b  是奇数，k 为 4 的倍数，则  5 b^2 + 4 b k + k^2 = 5 (mod 8) 不可能是完全平方数。

但若 b  是奇数，k 为 4u+2 型，经验证  5 b^2 + 4 b k + k^2 和 5 b^2 + 6 b k + 2 k^2 都是 8u+1 型，都有可能是完全平方数，此法不通。

ysr

a=89  m=27521  n=22201  √m=165.894544816881  √n=149
a=97  m=21953  n=12769  √m=148.16544806398  √n=113
a=101  wu jie
a=103  m=45578  n=42025  √m=213.490046606393  √n=205
a=107  wu jie
a=109  wu jie
a=113  m=39994  n=29929  √m=199.984999437458  √n=173
a=127  m=36865  n=21025  √m=192.002604149006  √n=145
a=117（合数）  m=38025  n=25857  √m=195  √n=160.801119399089
a=119（合数）  m=28561  n=14401  √m=169  √n=120.004166594331
a=119（合数） m=34610  n=21025  √m=186.037630601983  √n=145
a=119（合数）  m=42385  n=30625  √m=205.876176377938  √n=175
a=119（合数）  m=45137  n=34225  √m=212.454701054131  √n=185
a=119（合数）  m=55777  n=48841  √m=236.171547820647  √n=221
a=131  wu jie
a=137  m=82273  n=76729  √m=286.832703853658  √n=277
a=137  m=93298  n=93025  √m=305.447213115458  √n=305
a=139  wu jie
a=149  wu jie
a=151  m=83810  n=70225  √m=289.499568220749  √n=265
a=157  wu jie
a=163  wu jie
a=167  m=65914  n=38809  √m=256.737219740341  √n=197
a=173  wu jie
a=179  wu jie
a=181  wu jie
a=191  m=104081  n=72361  √m=322.61587065735  √n=269
a=193  m=156274  n=142129  √m=395.315064220933  √n=377
无解的都是m，n都是非平方数，a没有标注合数的，都是素数。

ysr

a=193 b=152  m=156274  n=142129  √m=395.315064220933  √n=377
a=197  wu jie
a=199 b=21  m=88001  n=48841  √m=296.649624978694  √n=221
a=211  wu jie
a=223 b=32  m=114754  n=66049  √m=338.753597766872  √n=257
a=227  wu jie
a=229  wu jie
a=233 b=75  m=149153  n=100489  √m=386.203314330677  √n=317

ysr

ysr 发表于 2023-5-22 11:49
a=11，b=1,2,3，……，10，时，只有如下3组m，n是相邻数：
a=11  m=482  n=425  √m=21  √n=20
a=11  m= ...

a=193 b=152  m=156274  n=142129  √m=395.315064220933  √n=377
a=197  wu jie
a=199 b=21  m=88001  n=48841  √m=296.649624978694  √n=221
a=211  wu jie
a=223 b=32  m=114754  n=66049  √m=338.753597766872  √n=257
a=227  wu jie
a=229  wu jie
a=233 b=75  m=149153  n=100489  √m=386.203314330677  √n=317

波斯猫猫

题：设 a,b 是正整数，求证：2a^2+2ab+b^2 与 a^2+2ab+2b^2 中至多有一个完全平方数。

思路(反证法)：假设2a^2+2ab+b^2 与 a^2+2ab+2b^2都是完全平方数。据对称性，不妨假定a≥b。

若a=b，则2a^2+2ab+b^2 =a^2+2ab+2b^2=5a^2。此皆非完全平方数，矛盾。故命题成立。

若a＞b，不妨令a^2+2ab+2b^2=c^2(c∈N+)，则存在唯一正整数r，使得2a^2+2ab+b^2 =(c+r)^2。

故，r^2+2cr+b^2-a^2=0。其判别式必为零，即4(c^2+a^2-b^2)=0，或c^2+a^2=b^2。

由此有a＜b。矛盾。故命题成立。

注：存在性命题宜用反证法。