趣题：求 arctan 1+arctan(1/2)+arctan(1/3)=?

中国上海市 · 发表于 2021-9-29 19:58

也可直接算tan(β+γ)＝1得β+γ＝π/4，∵α＝π/4，∴α+β+γ＝π/2

王守恩 · 发表于 2021-9-30 08:14

利用角不均分线定理也可以
看1楼右边的正方形，2条角分线2个方程。

\(试证1：\frac{\frac{1}{2}*1*\sin(\arctan(\frac{1}{2}))}{\frac{1}{2}*\sqrt{2}*\sin(\arctan(\frac{1}{3}))}=1\)

\(试证2：\frac{\frac{2}{3}*1*\sin(\arctan(\frac{1}{3}))}{\frac{1}{3}*\sqrt{2}*\sin(\arctan(\frac{1}{2}))}=1\)

elim · 发表于 2021-10-1 00:47

本帖最后由 elim 于 2021-9-30 11:30 编辑

下面这个解法没有一般性，但确实很好玩:

doletotodole1 · 发表于 2021-10-2 12:31

这道题我印象超极深刻.
里面有一个类似旋转相似的相似三角形, 也就是ACM和MCB相似, 直接推出a等于角BMC, 当年初中时代我是如何也不会想到也不会观察到这个.

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