[原创]重写我在中科院《科学智慧火花》的关于对称素数与集合论的帖子

APB先生

[这个贴子最后由APB先生在 2012/04/30 10:03am 第 5 次编辑]

[watermark]重写我在中科院《科学智慧火花》的另一个帖子，网址：
http://idea.cas.cn/viewdoc.action?docid=2378#d1参看74楼。重写中略有变化，但内容性质是相同的。

yyl19790401

康拓用对角论证法求得实数集不可数。如果APB先生求得实数集是可数的，那能否指出对角论证法的错误之处？
对角论证法的百度百科：http://baike.baidu.com/view/551545.htm

APB先生

[这个贴子最后由APB先生在 2012/05/01 01:21pm 第 1 次编辑]

下面引用由yyl19790401在 2012/04/29 11:28pm 发表的内容：
康拓用对角论证法求得实数集不可数。如果APB先生求得实数集是可数的，那能否指出对角论证法的错误之处？
对角论证法的百度百科：http://baike.baidu.com/view/551545.htm

yyl19790401

下面引用由APB先生在 2012/05/01 08:21am 发表的内容：

正整数集是可数的，从1,2,3……一路数下去，数量是无穷的。正整数集第一个元素是1，第二个元素是2，等等。
如果实数集在闭区间(0,1)也是可数的，那么它的第一个元素，第二个元素，第三个元素等，是什么？

APB先生

下面引用由yyl19790401在 2012/05/02 11:04am 发表的内容：
正整数集是可数的，从1,2,3……一路数下去，数量是无穷的。正整数集第一个元素是1，第二个元素是2，等等。
如果实数集在闭区间(0,1)也是可数的，那么它的第一个元素，第二个元素，第三个元素等，是什么？

是的！正整数集是可数的！正整数集可以分为可数有穷集与可数无穷集；可数无穷集可以从1，2，3，…… 一路数下去，无限的数下去，其数字的个数是无穷的；可数无穷集也可以排列成： ……，4，3，2，1 。
(0,1)是开区间，不是闭区间[0,1]。
你提出的问题很容易回答。你的问题应当是康托尔最先遇到，他的解法是任意排列，他将(0,1)的实数排列成数表时就是任意排列的。道理很简单：任意一个集合可数的充要条件是其元素能够与可数集建立一一对应关系，而与其元素如何排列无关；例如我们数一筐鸡蛋有多少个，就可以将全部鸡蛋任意排列，只要建立与 1,2,3，…… 的一一对应即可，如果最后一个鸡蛋与自然数 n 建立了一一对应关系，那么鸡蛋就有 n 个。同理， 设(0,1)的全体实数集合为 R1，在 R1 中任意取一元 a1 为(0,1)的第一元素，在 R1-a1中任意取一元 a2 为(0,1)的第二元素，在 R1-a1-a2 中任意取一元 a3 为(0,1)的第三元素，………；这个过程可以永远进行下去，R1-a1-a2-a3- …… → 0 。

yyl19790401

[这个贴子最后由yyl19790401在 2012/05/03 00:11am 第 2 次编辑]

下面引用由APB先生在 2012/05/02 10:50pm 发表的内容：
是的！正整数集是可数的！正整数集可以分为可数有穷集与可数无穷集；可数无穷集可以从1，2，3，…… 一路数下去，无限的数下去，其数字的个数是无穷的；可数无穷集也可以排列成： ……，4，3，2，1 。
(0,1)是开 ...

我把开区间和闭区间的概念搞错了，不好意思~
现实中一筐鸡蛋的个数是有限的，所以排列的顺序不重要。但是可数无穷集合的顺序是有关系的。就如正整数集，如果“倒着数”，从……4,3,2,1这样数的话，我们数不出“第一个元素”，因为不存在最大的正整数。数正整数集只能“正着数”，1,2,3,4……
另外，参考维基百科（http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E6%95%B8%E9%9B%86）对可数集合的定义，可数集合中每一个元素必须有唯一的后继的元素。所以如果要数“可数集”开区间(0,1)，元素的顺序不能“任意”

APB先生

[这个贴子最后由APB先生在 2012/05/05 09:57am 第 1 次编辑]

下面引用由yyl19790401在 2012/05/02 11:34pm 发表的内容：
我把开区间和闭区间的概念搞错了，不好意思~
现实中一筐鸡蛋的个数是有限的，所以排列的顺序不重要。但是可数无穷集合的顺序是有关系的。就如正整数集，如果“倒着数”，从……4,3,2,1这样数的话，我们数不出“　...

你的“但是可数无穷集合的顺序是有关系的。”这句话有问题：（1）可数无穷集合有许多，你没说清是什么可数无穷集合，你说的应是{1,2,3，…}吧？（2）可数无穷集合的顺序是什么顺序？排列顺序的规则是什么？顺序中有偏序，全序，良序等序结构。（3）可数无穷集合的顺序是有什么关系呀？关系有许多种，如二元关系，多元关系，复合关系，递归关系，同余关系，双射关系，等价关系，相容关系，等等；你说的应是{1,2,3，…}的任意二个相邻元素 a 与 b 的 a＜b 的关系吧？
维基百科关于可数集的定义是对的！但是因为可数有限集存在最大元，所以并不是可数集中每一个元素必须有唯一的后继！最大元就没有后续了。
你说：“如果要数“可数集”开区间(0,1)，元素的顺序不能“任意””。你说的“元素”是指(0,1)的元素吧？一百多年来，国内外数学界普遍采用康托尔的对角论证法，你可以找一找参考书，看看康托尔在其对角论证法中是按照怎样的排列顺序的规则，把(0,1)的元素一一排列出来的。

yyl19790401

[这个贴子最后由yyl19790401在 2012/05/03 09:43pm 第 1 次编辑]

下面引用由APB先生在 2012/05/03 08:02pm 发表的内容：
你的“但是可数无穷集合的顺序是有关系的。”这句话有问题：（1）可数无穷集合有许多，你没说清是什么可数无穷集合，你说的应是{1,2,3，…}吧？（2）可数无穷集合的顺序是什么顺序？排列顺序的规则是什么？顺序　...

我说的“但是可数无穷集合的顺序是有关系的”，意思是说其顺序不能是“任意”的。

yyl19790401

[这个贴子最后由yyl19790401在 2012/05/03 10:42pm 第 1 次编辑]

APB先生在一楼认为康托尔的对角论证法是错误的，那么我们在这里先不讨论康托尔。
既然APB先生认为(0,1)是可数集的话，那么根据可数集的定义，必然存在一个双射函数，使得可数集(0,1)的元素和正整数集合1,2,3,4……的元素可以一一对应起来。但是我发现，使用翻函数的话，t(999……990)=t(1)=0.1，我的推导如下：

如果我推导成立的话，那么可数集(0,1)的元素0.1和正整数集合的元素就没有一一对应的关系了。不知道我的推导错在哪里？

APB先生

下面引用由yyl19790401在 2012/05/03 10:40pm 发表的内容：
APB先生在一楼认为康托尔的对角论证法是错误的，那么我们在这里先不讨论康托尔。
既然APB先生认为(0,1)是可数集的话，那么根据可数集的定义，必然存在一个双射函数，使得可数集(0,1)的元素和正整数集合1,2,3,4… ...